Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12math4

Buktikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut menggunakan

Pertanyaan

Buktikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut menggunakan induksi matematika kuat. Diketahui x0 = 1, x1 = 3, dan xn+1 = xn + xn-1 dengan n adalah bilangan asli. Buktikan xn+1 <= 2^(n+1) untuk setiap bilangan asli n.

Solusi

Verified

Pembuktian valid untuk n >= 2, namun basis induksi untuk n=1 gagal pada xn <= 2^n.

Pembahasan

Kita akan membuktikan bahwa xn+1 <= 2^(n+1) untuk setiap bilangan asli n, menggunakan induksi matematika kuat. Diketahui: x0 = 1 x1 = 3 xn+1 = xn + xn-1 untuk n bilangan asli. Basis Induksi: Untuk n=1: x(1+1) = x2. Kita perlu menghitung x2 terlebih dahulu. x2 = x1 + x0 = 3 + 1 = 4. Kita harus membuktikan x2 <= 2^(1+1), yaitu 4 <= 2^2, yang berarti 4 <= 4. Pernyataan ini benar. Untuk n=2: x(2+1) = x3. Kita perlu menghitung x3. x3 = x2 + x1 = 4 + 3 = 7. Kita harus membuktikan x3 <= 2^(2+1), yaitu 7 <= 2^3, yang berarti 7 <= 8. Pernyataan ini benar. Asumsi Induksi: Asumsikan bahwa xk+1 <= 2^(k+1) berlaku untuk semua bilangan asli k, dengan 1 <= k <= n. Ini berarti kita mengasumsikan bahwa: x2 <= 2^2 x3 <= 2^3 ... xn+1 <= 2^(n+1) Langkah Induksi: Kita perlu membuktikan bahwa x(n+1)+1 <= 2^((n+1)+1), yaitu xn+2 <= 2^(n+2). Dari definisi barisan: xn+2 = xn+1 + xn Berdasarkan asumsi induksi, kita tahu bahwa: xn+1 <= 2^(n+1) (karena n >= 1) xn <= 2^n (karena n-1 >= 0, jadi kita ambil kasus n=1, x1 <= 2^1, 3 <= 2 (salah), jadi asumsi harus dimulai dari n=1). Mari kita perbaiki asumsi induksi karena xn <= 2^n mungkin tidak berlaku untuk n=1. Kita asumsikan xk+1 <= 2^(k+1) berlaku untuk semua bilangan asli k, dengan 1 <= k <= n. Ini berarti: x2 <= 2^2 x3 <= 2^3 ... xn <= 2^n xn+1 <= 2^(n+1) Sekarang, untuk langkah induksi, kita ingin membuktikan xn+2 <= 2^(n+2). Kita tahu xn+2 = xn+1 + xn. Karena n adalah bilangan asli, maka n >= 1. Jadi, n+1 >= 2 dan n >= 1. Dari asumsi induksi: xn+1 <= 2^(n+1) xn <= 2^n Maka: xn+2 = xn+1 + xn <= 2^(n+1) + 2^n Kita perlu menunjukkan bahwa 2^(n+1) + 2^n <= 2^(n+2). 2^(n+1) + 2^n = 2^n * 2^1 + 2^n * 1 = 2^n * (2 + 1) = 3 * 2^n Kita ingin membuktikan 3 * 2^n <= 2^(n+2). 2^(n+2) = 2^n * 2^2 = 4 * 2^n. Karena 3 * 2^n <= 4 * 2^n, maka pernyataan xn+2 <= 2^(n+2) benar. Namun, kita perlu memeriksa kembali basis induksi untuk n=1. x1 = 3. Kita perlu membuktikan x1 <= 2^1, yaitu 3 <= 2. Ini salah. Mari kita perbaiki pernyataan yang akan dibuktikan. Mungkin ada kesalahan dalam soal atau kita perlu basis induksi yang lebih kuat. Jika kita harus membuktikan xn+1 <= 2^(n+1) untuk setiap bilangan asli n: Basis Induksi: n=1: x2 = 4. 2^(1+1) = 2^2 = 4. 4 <= 4 (Benar) n=2: x3 = 7. 2^(2+1) = 2^3 = 8. 7 <= 8 (Benar) Asumsi Induksi: Asumsikan xk+1 <= 2^(k+1) berlaku untuk 1 <= k <= n. Langkah Induksi: Buktikan xn+2 <= 2^(n+2). xn+2 = xn+1 + xn. Kita tahu xn+1 <= 2^(n+1). Untuk xn, kita perlu menunjukkan xn <= 2^n. Jika n=1, x1 = 3, 2^1 = 2. 3 <= 2 (Salah). Kesimpulan sementara: Pernyataan xn+1 <= 2^(n+1) tidak berlaku untuk semua bilangan asli n berdasarkan definisi barisan dan basis induksi yang diberikan. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal tersebut benar dan kita perlu menunjukkan langkah pembuktiannya: Asumsi: xk+1 <= 2^(k+1) untuk 1 <= k <= n. Kita perlu membuktikan xn+2 <= 2^(n+2). xn+2 = xn+1 + xn Karena n >= 1, maka n+1 >= 2 dan n >= 1. Dari asumsi induksi: xn+1 <= 2^(n+1) Kita juga perlu xn <= 2^n. Jika kita mengasumsikan ini benar (meskipun basis induksi untuk n=1 gagal). xn+2 <= 2^(n+1) + 2^n xn+2 <= 2^n(2 + 1) xn+2 <= 3 * 2^n Kita ingin membuktikan 3 * 2^n <= 2^(n+2) = 4 * 2^n. Hal ini benar karena 3 <= 4. Jadi, jika kita mengabaikan kegagalan basis induksi untuk n=1 pada xn <= 2^n, maka langkah induksi berlaku. Untuk membuat bukti ini valid, kita perlu memperbaiki basis induksi atau pernyataan yang dibuktikan. Misalnya, jika kita membuktikan xn <= 2^n untuk n >= 2. Basis Induksi n=2: x2 = 4. 2^2 = 4. 4 <= 4 (Benar). Basis Induksi n=3: x3 = 7. 2^3 = 8. 7 <= 8 (Benar). Asumsi Induksi: Asumsikan xk <= 2^k berlaku untuk 2 <= k <= n. Langkah Induksi: Buktikan xn+1 <= 2^(n+1). xn+1 = xn + xn-1. Untuk n >= 2, maka n+1 >= 3 dan n >= 2, n-1 >= 1. Jika n=2, x3 = x2 + x1 = 4 + 3 = 7. Kita perlu membuktikan x3 <= 2^3 = 8. Benar. Jika n=3, x4 = x3 + x2 = 7 + 4 = 11. Kita perlu membuktikan x4 <= 2^4 = 16. Benar. Jika kita membuktikan xn+1 <= 2^(n+1) untuk n >= 2. Asumsi: xk+1 <= 2^(k+1) untuk 1 <= k <= n, dengan n >= 2. Ini berarti x2<=4, x3<=8, ..., xn+1<=2^(n+1). xn+2 = xn+1 + xn. Karena n >= 2, maka n+1 >= 3 dan n >= 2. Dari asumsi induksi: xn+1 <= 2^(n+1) xn <= 2^n (karena n >= 2). Maka: xn+2 <= 2^(n+1) + 2^n xn+2 <= 2^n(2+1) xn+2 <= 3 * 2^n Dan kita tahu 3 * 2^n <= 4 * 2^n = 2^(n+2). Jadi xn+2 <= 2^(n+2). Bukti ini valid untuk n >= 2. Untuk kasus n=1, kita sudah menunjukkan x2 <= 2^2 (4 <= 4). Untuk kasus n=0 (jika didefinisikan), x1 = 3, 2^1 = 2. 3 <= 2 (Salah). Jika soalnya adalah membuktikan xn <= 2^n untuk n >= 2, maka pembuktiannya valid. Metadata: Grades: 11, 12 Chapters: 4 Topics: Induksi Matematika, Barisan dan Deret Sections: 4.1, 4.2, 4.3

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Barisan Dan Deret, Induksi Matematika
Section: 4 3, 4 1, 4 2

Apakah jawaban ini membantu?
Buktikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut menggunakan - Saluranedukasi