Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah p cm. Jarak E ke

$\frac{p\sqrt{2}}{2}$ cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik E ke diagonal HB pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk p cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi vektor atau teorema Pythagoras dalam ruang.

Misalkan kita tempatkan titik H pada koordinat (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lain adalah:
A(p,0,0), B(p,p,0), C(0,p,0), D(0,0,0)
E(p,0,p), F(p,p,p), G(0,p,p), H(0,0,p)

Diagonal HB dapat direpresentasikan oleh vektor $\vec{HB} = B - H = (p,p,p) - (0,0,p) = (p,p,0)$.

Titik E berada pada koordinat (p,0,p).

Jarak dari titik E ke garis HB adalah panjang dari vektor proyeksi $\vec{HE}$ ke vektor $\vec{HB}$ yang dikurangi dari panjang $\vec{HE}$.
Atau, lebih mudah, kita bisa mencari panjang proyeksi vektor $\vec{HE}$ pada vektor $\vec{HB}$, lalu gunakan teorema Pythagoras.

$\vec{HE} = E - H = (p,0,p) - (0,0,p) = (p,0,0)$

Panjang proyeksi $\vec{HE}$ pada $\vec{HB}$ adalah:
$proj_{\vec{HB}} \vec{HE} = \frac{\vec{HE} \cdot \vec{HB}}{|\vec{HB}|^2} \vec{HB}$

$\vec{HE} \cdot \vec{HB} = (p)(p) + (0)(p) + (0)(0) = p^2$
$|\vec{HB}|^2 = p^2 + p^2 + 0^2 = 2p^2$

Panjang proyeksi $\vec{HE}$ pada $\vec{HB}$ adalah $\frac{p^2}{2p^2} \vec{HB} = \frac{1}{2} \vec{HB}$.
Ini berarti titik proyeksi E pada garis HB berada di tengah-tengah segmen HB.

Sekarang kita cari panjang vektor dari E ke titik tengah HB. Titik tengah HB adalah $(\frac{0+p}{2}, \frac{0+p}{2}, \frac{p+p}{2}) = (p/2, p/2, p)$.

Jarak dari E(p,0,p) ke titik tengah HB $(p/2, p/2, p)$ adalah:
$Jarak = \sqrt{(p - p/2)^2 + (0 - p/2)^2 + (p - p)^2}$
$Jarak = \sqrt{(p/2)^2 + (-p/2)^2 + 0^2}$
$Jarak = \sqrt{p^2/4 + p^2/4}$
$Jarak = \sqrt{2p^2/4}$
$Jarak = \sqrt{p^2/2}$
$Jarak = \frac{p}{\sqrt{2}} = \frac{p\sqrt{2}}{2}$ cm.