Buktikanlah bahwa: a. U(n+m)+U(n-m)=2.Un b.

Identitas terbukti dengan substitusi rumus Un dan Sn serta manipulasi aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas deret aritmetika:

a. U(n+m) + U(n-m) = 2.Un
   Kita tahu bahwa Un = a + (n-1)b. Maka:
   U(n+m) = a + (n+m-1)b
   U(n-m) = a + (n-m-1)b
   Jumlahkan kedua persamaan tersebut:
   U(n+m) + U(n-m) = [a + (n+m-1)b] + [a + (n-m-1)b]
   = 2a + (n+m-1+n-m-1)b
   = 2a + (2n-2)b
   = 2a + 2(n-1)b
   = 2[a + (n-1)b]
   = 2Un
   Ini membuktikan bahwa U(n+m) + U(n-m) = 2Un.

b. S(n+2) - 2.S(n+1) + Sn = b
   Kita tahu bahwa Sn = n/2 * (2a + (n-1)b).
   S(n+2) = (n+2)/2 * (2a + (n+2-1)b) = (n+2)/2 * (2a + (n+1)b)
   S(n+1) = (n+1)/2 * (2a + (n+1-1)b) = (n+1)/2 * (2a + nb)
   Maka, S(n+2) - 2.S(n+1) + Sn
   = [(n+2)/2 * (2a + (n+1)b)] - 2*[(n+1)/2 * (2a + nb)] + [n/2 * (2a + (n-1)b)]
   Untuk menyederhanakan, mari kita pertimbangkan selisih antara suku-suku berurutan:
   Un+1 = Sn+1 - Sn
   Un+2 = Sn+2 - Sn+1
   Maka, Sn+2 - 2Sn+1 + Sn = (Sn+2 - Sn+1) - (Sn+1 - Sn) = Un+2 - Un+1 = b (beda deret aritmetika)
   Ini membuktikan bahwa S(n+2) - 2.S(n+1) + Sn = b.