Buktikanlah bahwa lingkaran L1 dan L2 bersinggungan jika

Kedua lingkaran bersinggungan di luar karena jarak antara pusatnya sama dengan jumlah jari-jarinya (d=5, r1+r2=5).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa dua lingkaran bersinggungan, kita perlu memeriksa hubungan antara jarak antara kedua pusat lingkaran dengan jumlah atau selisih jari-jari kedua lingkaran.

Lingkaran L1: x^2 + y^2 - 10x - 8y + 32 = 0
Untuk mencari pusat dan jari-jari L1, kita ubah persamaan ke bentuk standar (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 dengan melengkapkan kuadrat:
(x^2 - 10x) + (y^2 - 8y) = -32
(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16) = -32 + 25 + 16
(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9

Pusat L1 adalah C1 = (5, 4) dan jari-jarinya adalah r1 = sqrt(9) = 3.

Lingkaran L2: x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0
Melengkapkan kuadrat untuk L2:
(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 2
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 2 + 1 + 1
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4

Pusat L2 adalah C2 = (1, 1) dan jari-jarinya adalah r2 = sqrt(4) = 2.

Sekarang, kita hitung jarak antara kedua pusat lingkaran, C1 dan C2, menggunakan rumus jarak:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
d = sqrt((1 - 5)^2 + (1 - 4)^2)
d = sqrt((-4)^2 + (-3)^2)
d = sqrt(16 + 9)
d = sqrt(25)
d = 5

Selanjutnya, kita hitung jumlah dan selisih jari-jari:
Jumlah jari-jari: r1 + r2 = 3 + 2 = 5
Selisih jari-jari: |r1 - r2| = |3 - 2| = 1

Karena jarak antara kedua pusat lingkaran (d = 5) sama dengan jumlah jari-jari kedua lingkaran (r1 + r2 = 5), maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan di luar.