Buktikanlah bahwa n(n+1)(n+2) habis dibagi 3 untuk n

Dalam setiap tiga bilangan asli berurutan, pasti ada satu yang merupakan kelipatan 3, sehingga hasil perkaliannya habis dibagi 3.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa n(n+1)(n+2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika atau dengan menganalisis sifat keterbagian.

Metode 1: Analisis Sifat Keterbagian
Dalam setiap tiga bilangan asli berurutan, yaitu n, n+1, dan n+2, pasti salah satunya adalah kelipatan 3. 
* Jika n adalah kelipatan 3, maka n = 3k untuk suatu bilangan asli k. Maka n(n+1)(n+2) = 3k(3k+1)(3k+2), yang jelas habis dibagi 3.
* Jika n bukan kelipatan 3, maka n bersisa 1 atau 2 ketika dibagi 3.
    * Jika n = 3k + 1, maka n+2 = (3k + 1) + 2 = 3k + 3 = 3(k+1). Ini adalah kelipatan 3. Maka n(n+1)(n+2) akan habis dibagi 3.
    * Jika n = 3k + 2, maka n+1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k+1). Ini adalah kelipatan 3. Maka n(n+1)(n+2) akan habis dibagi 3.
Karena salah satu dari n, n+1, atau n+2 pasti habis dibagi 3, maka hasil perkalian ketiganya, yaitu n(n+1)(n+2), pasti habis dibagi 3.

Metode 2: Prinsip Induksi Matematika
Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, nilai dari n(n+1)(n+2) adalah 1(1+1)(1+2) = 1 * 2 * 3 = 6. Angka 6 habis dibagi 3. Jadi, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k, yaitu k(k+1)(k+2) habis dibagi 3. Ini berarti k(k+1)(k+2) = 3m untuk suatu bilangan bulat m.

Sekarang kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=k+1, yaitu (k+1)((k+1)+1)((k+1)+2) habis dibagi 3, atau (k+1)(k+2)(k+3) habis dibagi 3.

(k+1)(k+2)(k+3) = (k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3
= k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)
Kita tahu dari asumsi induksi bahwa k(k+1)(k+2) habis dibagi 3. Suku kedua, yaitu 3(k+1)(k+2), juga jelas habis dibagi 3 karena memiliki faktor 3.

Karena kedua suku tersebut habis dibagi 3, maka jumlahnya, yaitu (k+1)(k+2)(k+3), juga habis dibagi 3.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa n(n+1)(n+2) habis dibagi 3 adalah benar untuk semua bilangan asli n.