integral (10x^4+3x^3-11x^2-3x+1)/(10x^3+5x^2-10x-5) dx =

(1/2)x² - (1/5)x + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral (10x^4+3x^3-11x^2-3x+1)/(10x^3+5x^2-10x-5) dx, kita perlu menggunakan metode pembagian polinomial terlebih dahulu karena derajat pembilang (4) lebih besar dari derajat penyebut (3).

Mari kita bagi (10x^4+3x^3-11x^2-3x+1) dengan (10x^3+5x^2-10x-5).

Langkah 1: Bagi suku tertinggi pembilang dengan suku tertinggi penyebut:
(10x^4) / (10x^3) = x
Kalikan x dengan penyebut:
x * (10x^3+5x^2-10x-5) = 10x^4 + 5x^3 - 10x^2 - 5x
Kurangkan hasil ini dari pembilang:
(10x^4+3x^3-11x^2-3x+1) - (10x^4 + 5x^3 - 10x^2 - 5x)
= -2x^3 - x^2 + 2x + 1

Langkah 2: Sekarang kita punya sisa -2x^3 - x^2 + 2x + 1. Bagi suku tertinggi sisa dengan suku tertinggi penyebut:
(-2x^3) / (10x^3) = -2/10 = -1/5
Kalikan -1/5 dengan penyebut:
(-1/5) * (10x^3+5x^2-10x-5)
= -2x^3 - x^2 + 2x + 1

Kurangkan hasil ini dari sisa sebelumnya:
(-2x^3 - x^2 + 2x + 1) - (-2x^3 - x^2 + 2x + 1)
= 0

Jadi, hasil pembagiannya adalah x - 1/5. Ini berarti integralnya menjadi:
∫(x - 1/5) dx

Mengintegralkan suku per suku:
∫x dx = (1/2)x²
∫(-1/5) dx = (-1/5)x

Jadi, hasil integralnya adalah (1/2)x² - (1/5)x + C, di mana C adalah konstanta integrasi.