Solve the following equations. b. |x-1|-1=|x|

Solusi dari persamaan $|x-1|-1=|x|$ adalah $x \le 0$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak $|x-1|-1=|x|$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan definisi nilai mutlak:

Kasus 1: $x-1 \ge 0$ (yaitu, $x \ge 1$). Dalam kasus ini, $|x-1| = x-1$.
Persamaan menjadi: $(x-1) - 1 = |x|$.
Karena $x \ge 1$, maka $|x| = x$.
Sehingga, $x - 2 = x$.
$-2 = 0$, yang merupakan kontradiksi. Jadi, tidak ada solusi pada kasus ini.

Kasus 2: $x-1 < 0$ (yaitu, $x < 1$). Dalam kasus ini, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.
Persamaan menjadi: $(1-x) - 1 = |x|$.
$ -x = |x|$.
Sekarang kita perlu membagi lagi berdasarkan nilai $x$:

Subkasus 2a: $x \ge 0$. Karena kita berada dalam kasus $x < 1$, maka $0 \le x < 1$. Dalam subkasus ini, $|x| = x$.
Persamaan menjadi: $-x = x$.
$2x = 0 
 x = 0$.
Nilai $x=0$ memenuhi syarat $0 \le x < 1$, jadi $x=0$ adalah solusi.

Subkasus 2b: $x < 0$. Dalam subkasus ini, $|x| = -x$.
Persamaan menjadi: $-x = -x$.
Persamaan ini benar untuk semua nilai $x < 0$.

Menggabungkan semua solusi:
Dari Kasus 1, tidak ada solusi.
Dari Kasus 2, kita mendapatkan $x=0$ (dari Subkasus 2a) dan semua $x < 0$ (dari Subkasus 2b).
Jadi, solusi gabungannya adalah semua bilangan real kurang dari atau sama dengan nol ($x \le 0$).