Cari daerah asal alamiah dari tiap kasus. a.

a. Semua real kecuali -2 dan 3. b. Semua real lebih besar dari -1.

Pembahasan

Untuk mencari daerah asal alamiah dari tiap kasus:

a. $f(x) = (4-x^2) / (x^2-x-6)$
Daerah asal alamiah adalah semua nilai x yang membuat penyebut tidak sama dengan nol. Kita perlu mencari akar dari penyebut $x^2 - x - 6 = 0$.
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x-3)(x+2) = 0$
Maka, $x = 3$ atau $x = -2$.
Jadi, daerah asal alamiah dari $f(x)$ adalah semua bilangan real kecuali 3 dan -2. Dalam notasi interval, ini adalah $(-\infty, -2) \cup (-2, 3) \cup (3, \infty)$.

b. $G(y) = ((y+1)^{-1})^{1/2}$
Pertama, sederhanakan ekspresi: $G(y) = (1/(y+1))^{1/2} = \sqrt{1/(y+1)}$.
Agar fungsi ini terdefinisi, ada dua syarat:
1. Penyebut tidak boleh nol: $y+1 \ne 0$, sehingga $y \ne -1$.
2. Ekspresi di bawah akar kuadrat harus non-negatif: $1/(y+1) \ge 0$.
Karena 1 adalah bilangan positif, agar hasil pembagiannya positif, penyebutnya juga harus positif: $y+1 > 0$.
Ini berarti $y > -1$.
Jadi, daerah asal alamiah dari $G(y)$ adalah semua bilangan real yang lebih besar dari -1. Dalam notasi interval, ini adalah $(-1, \infty)$.