Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: x(x+1) +

[-3, -2] U (-1, 0) U (0, 2].

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan x(x+1) + 12/(x(x+1)) <= 8, pertama kita misalkan P = x(x+1). Maka pertidaksamaan menjadi P + 12/P <= 8. Syarat agar P terdefinisi adalah P != 0, yang berarti x(x+1) != 0, sehingga x != 0 dan x != -1. Selanjutnya, kita pindahkan 8 ke sisi kiri: P + 12/P - 8 <= 0. Samakan penyebutnya: (P^2 + 12 - 8P) / P <= 0. Urutkan suku-suku di pembilang: (P^2 - 8P + 12) / P <= 0. Faktorkan pembilangnya: (P-2)(P-6) / P <= 0. Sekarang substitusikan kembali P = x(x+1): [x(x+1) - 2][x(x+1) - 6] / [x(x+1)] <= 0. Faktorkan lagi bagian dalam kurung: [x^2 + x - 2][x^2 + x - 6] / [x(x+1)] <= 0. [ (x+2)(x-1) ] [ (x+3)(x-2) ] / [ x(x+1) ] <= 0. Akar-akar dari pembilang adalah -3, -2, 1, 2. Akar-akar dari penyebut adalah -1, 0. Urutkan semua akar pada garis bilangan: -3, -2, -1, 0, 1, 2. Kita uji tanda di setiap interval: 
Interval x < -3: Misal x=-4. (neg)(neg)(neg)(neg) / (neg)(neg) = pos. 
Interval -3 < x < -2: Misal x=-2.5. (pos)(neg)(neg)(neg) / (neg)(neg) = neg. 
Interval -2 < x < -1: Misal x=-1.5. (pos)(pos)(neg)(neg) / (neg)(pos) = pos. 
Interval -1 < x < 0: Misal x=-0.5. (pos)(pos)(pos)(neg) / (pos)(pos) = neg. 
Interval 0 < x < 1: Misal x=0.5. (pos)(pos)(pos)(neg) / (pos)(pos) = neg. 
Interval 1 < x < 2: Misal x=1.5. (pos)(pos)(pos)(pos) / (pos)(pos) = pos. 
Interval x > 2: Misal x=3. (pos)(pos)(pos)(pos) / (pos)(pos) = pos. 
Pertidaksamaan <= 0 terpenuhi pada interval -3 <= x <= -2 atau -1 < x < 0 atau 0 < x < 1 atau 1 <= x <= 2. Perhatikan bahwa x != 0 dan x != -1. Juga, kita harus memeriksa kembali kondisi P = x(x+1) agar nilai x=0 dan x=-1 tidak menyebabkan pembagian dengan nol. Karena P=x(x+1), P=0 jika x=0 atau x=-1. Maka dari itu interval -1 < x < 0 dan 0 < x < 1 harus dianalisis lebih lanjut terkait nilai x=-1 dan x=0. Namun, karena penyebutnya adalah P=x(x+1), maka x tidak boleh 0 dan -1. 
Pertidaksamaan terpenuhi ketika: -3 <= x <= -2 atau -1 < x < 0 atau 0 < x < 1 atau 1 <= x <= 2. Kita juga perlu mempertimbangkan kasus P < 0. Jika P < 0, maka P+12/P <= 8 akan selalu benar jika P negatif dan 12/P juga negatif, tetapi penjumlahannya bisa positif. Jika P negatif, P + 12/P <= 8. Misal P = -1, -1 + 12/(-1) = -1 - 12 = -13 <= 8. Ini benar. Jadi jika P negatif, pertidaksamaan terpenuhi. P = x(x+1) < 0 terjadi ketika -1 < x < 0. 
Dengan menggabungkan semua hasil: Himpunan penyelesaiannya adalah [-3, -2] U (-1, 0) U (0, 1) U [1, 2]. Kita bisa sederhanakan menjadi [-3, -2] U (-1, 2]. Namun, kita harus mengecualikan x=0 dan x=-1 dari penyebut. Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah [-3, -2] U (-1, 0) U (0, 2]. 
Mari kita periksa kembali akar-akar dan intervalnya. Akar-akarnya adalah -3, -2, -1, 0, 1, 2. Kita perlu mencari di mana (x+3)(x+2)(x-1)(x-2) / (x(x+1)) <= 0. 
Interval: 
(-inf, -3]: Uji x=-4 -> (-)(-)(-)(-) / (-)(-) = + 
[-3, -2]: Uji x=-2.5 -> (+)(-)(-)(-) / (-)(-) = - 
[-2, -1): Uji x=-1.5 -> (+)(+)(-)(-) / (-)(+) = + 
(-1, 0): Uji x=-0.5 -> (+)(+)(+)(-) / (-)(+) = - 
(0, 1): Uji x=0.5 -> (+)(+)(+)(-) / (+)(+) = - 
(1, 2): Uji x=1.5 -> (+)(+)(+)(+) / (+)(+) = + 
[2, inf): Uji x=3 -> (+)(+)(+)(+) / (+)(+) = + 
Kita mencari <= 0. Jadi intervalnya adalah [-3, -2] U (-1, 0) U (0, 1) U [1, 2]. 
Karena ada penyebut x(x+1), maka x != 0 dan x != -1. 
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah [-3, -2] U (-1, 0) U (0, 1) U [1, 2]. 
Ini bisa ditulis sebagai [-3, -2] U (-1, 2] dengan pengecualian x=0. 
Himpunan penyelesaiannya adalah {x | -3 <= x <= -2 atau -1 < x < 0 atau 0 < x <= 2}.