Carilah nilai a dan b sehingga dua pasang sistem persamaan

a = -1 dan b = 2

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan kedua sistem persamaan linear tersebut untuk menemukan nilai a dan b.

Sistem Persamaan 1:
{ax + by = 1
 2x + 3y = 12

Sistem Persamaan 2:
{3x - 5y = -1
 bx + ay = 4

Karena kedua sistem memiliki penyelesaian yang sama, maka solusi (x, y) dari sistem pertama harus memenuhi sistem kedua, dan sebaliknya.

Mari kita selesaikan sistem persamaan linear yang lebih konkret terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai x dan y, lalu substitusikan ke dalam sistem lain.

Dari sistem 1, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Namun, karena ada variabel a dan b, kita perlu menggunakan pendekatan yang berbeda.

Kita asumsikan bahwa penyelesaian dari 2x + 3y = 12 adalah (x0, y0). Penyelesaian ini harus juga berlaku untuk ax + by = 1.

Demikian pula, kita asumsikan bahwa penyelesaian dari 3x - 5y = -1 adalah (x1, y1). Penyelesaian ini harus juga berlaku untuk bx + ay = 4.

Karena penyelesaiannya sama, maka x0 = x1 dan y0 = y1. Mari kita gunakan sistem persamaan 2x + 3y = 12 dan 3x - 5y = -1 untuk mencari nilai x dan y terlebih dahulu.

Kalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2 untuk mengeliminasi x:
3 * (2x + 3y = 12)  => 6x + 9y = 36
2 * (3x - 5y = -1)  => 6x - 10y = -2

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(6x + 9y) - (6x - 10y) = 36 - (-2)
19y = 38
y = 2

Substitusikan y = 2 ke salah satu persamaan, misalnya 2x + 3y = 12:
2x + 3(2) = 12
2x + 6 = 12
2x = 6
x = 3

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 dan y = 2.

Sekarang substitusikan nilai x = 3 dan y = 2 ke dalam persamaan pertama dari kedua sistem:

Dari sistem 1: ax + by = 1
a(3) + b(2) = 1
3a + 2b = 1 (Persamaan A)

Dari sistem 2: bx + ay = 4
b(3) + a(2) = 4
3b + 2a = 4
2a + 3b = 4 (Persamaan B)

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear baru dengan variabel a dan b:
1) 3a + 2b = 1
2) 2a + 3b = 4

Kalikan Persamaan 1 dengan 3 dan Persamaan 2 dengan 2 untuk mengeliminasi b:
3 * (3a + 2b = 1)  => 9a + 6b = 3
2 * (2a + 3b = 4)  => 4a + 6b = 8

Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
(9a + 6b) - (4a + 6b) = 3 - 8
5a = -5
a = -1

Substitusikan nilai a = -1 ke salah satu persamaan, misalnya 3a + 2b = 1:
3(-1) + 2b = 1
-3 + 2b = 1
2b = 4
b = 2

Jadi, nilai a = -1 dan nilai b = 2.