Carilah nilai k agar tiap grafik fungsi kuadrat berikut

Nilai k yang membuat grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X adalah k = 1.

Pembahasan

Untuk mencari nilai k agar grafik fungsi kuadrat f(x) = 1/2 kx² - 2kx + (1 1/2 k + 1/2) menyinggung sumbu X, kita perlu memastikan bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut sama dengan nol. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu akar real, yang terjadi ketika diskriminan (D) bernilai nol.

Persamaan fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c.
Dalam kasus ini:
*   a = 1/2 k
*   b = -2k
*   c = 1 1/2 k + 1/2 = 3/2 k + 1/2

Diskriminan dihitung menggunakan rumus D = b² - 4ac.
Agar menyinggung sumbu X, D = 0.

Mengganti nilai a, b, dan c ke dalam rumus diskriminan:

D = (-2k)² - 4 * (1/2 k) * (3/2 k + 1/2)

D = 4k² - 2k * (3/2 k + 1/2)

D = 4k² - (2k * 3/2 k) - (2k * 1/2)

D = 4k² - 3k² - k

D = k² - k

Sekarang, kita samakan diskriminan dengan nol untuk mencari nilai k:

k² - k = 0

Faktorkan persamaan tersebut:
k(k - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk k:
1.  k = 0
2.  k - 1 = 0  => k = 1

Namun, kita perlu memeriksa apakah nilai-nilai k ini membuat fungsi kuadrat menjadi fungsi kuadrat yang valid. Fungsi kuadrat didefinisikan ketika koefisien a ≠ 0.

*   Jika k = 0:
    a = 1/2 * 0 = 0.
    Karena a = 0, fungsi tersebut menjadi fungsi linear, bukan fungsi kuadrat. Dalam kasus ini, f(x) = 0x² - 2(0)x + (1/2 * 0 + 1/2) = 1/2. Grafik y = 1/2 adalah garis horizontal yang tidak pernah menyinggung sumbu X.

*   Jika k = 1:
    a = 1/2 * 1 = 1/2.
    Karena a ≠ 0, ini adalah fungsi kuadrat yang valid.
    Mari kita periksa diskriminannya untuk k=1:
    D = 1² - 1 = 1 - 1 = 0.
    Jadi, ketika k = 1, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X.

Fungsi kuadratnya menjadi:
f(x) = 1/2 (1)x² - 2(1)x + (1 1/2 (1) + 1/2)
f(x) = 1/2 x² - 2x + (3/2 + 1/2)
f(x) = 1/2 x² - 2x + 2

Untuk memeriksa apakah ini menyinggung sumbu X, kita bisa mencari akarnya:
1/2 x² - 2x + 2 = 0
Kalikan dengan 2: x² - 4x + 4 = 0
Ini adalah kuadrat sempurna: (x - 2)² = 0
x = 2.
Karena hanya ada satu akar x=2, grafik memang menyinggung sumbu X di titik (2, 0).

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 1.