Carilah Nilai Limit Berikut:lim x->0

Nilai limitnya adalah -3/2, dihitung menggunakan aturan L'Hopital.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - (1 + x^2)^{2/3}}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.

Turunan pembilang (d/dx x²): $2x$

Turunan penyebut (d/dx [1 - (1 + x²)^(2/3)]):
$= 0 - \frac{2}{3}(1 + x^2)^{\frac{2}{3}-1} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$
$= -\frac{2}{3}(1 + x^2)^{-\frac{1}{3}} \cdot (2x)$
$= -\frac{4x}{3}(1 + x^2)^{-\frac{1}{3}}$

Langkah 2: Bentuk limit baru dengan turunan pembilang dan penyebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{-\frac{4x}{3}(1 + x^2)^{-\frac{1}{3}}}$

Langkah 3: Sederhanakan ekspresi dengan membatalkan 'x' di pembilang dan penyebut (karena x mendekati 0, x ≠ 0):
$\lim_{x \to 0} \frac{2}{-\frac{4}{3}(1 + x^2)^{-\frac{1}{3}}}$

Langkah 4: Substitusikan x = 0 ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
$= \frac{2}{-\frac{4}{3}(1 + 0^2)^{-\frac{1}{3}}}$
$= \frac{2}{-\frac{4}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}}$
$= \frac{2}{-\frac{4}{3}}$

Langkah 5: Hitung hasil akhirnya:
$= 2 \times (-\frac{3}{4})$
$= -\frac{6}{4}$
$= -\frac{3}{2}$

Jadi, nilai limitnya adalah -3/2.