Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut! a.

Solusi untuk a adalah x >= -1/2. Solusi untuk b adalah x <= 1/2 atau x >= 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti |x-3| <= |x+4| dan |3x-7| >= |x+5|, kita dapat menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan.

Bagian a: |x-3| <= |x+4|
Kuadratkan kedua sisi:
(x-3)^2 <= (x+4)^2

x^2 - 6x + 9 <= x^2 + 8x + 16

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
0 <= x^2 + 8x + 16 - (x^2 - 6x + 9)
0 <= x^2 + 8x + 16 - x^2 + 6x - 9
0 <= 14x + 7

Pindahkan 7 ke sisi kiri:
-7 <= 14x

Bagi dengan 14:
-7/14 <= x
-1/2 <= x

Jadi, solusi untuk bagian a adalah x >= -1/2.

Bagian b: |3x-7| >= |x+5|
Kuadratkan kedua sisi:
(3x-7)^2 >= (x+5)^2

(3x)^2 - 2(3x)(7) + 7^2 >= x^2 + 2(x)(5) + 5^2
9x^2 - 42x + 49 >= x^2 + 10x + 25

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
9x^2 - 42x + 49 - (x^2 + 10x + 25) >= 0
9x^2 - 42x + 49 - x^2 - 10x - 25 >= 0
8x^2 - 52x + 24 >= 0

Bagi seluruh pertidaksamaan dengan 4 untuk menyederhanakannya:
2x^2 - 13x + 6 >= 0

Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^2 - 13x + 6 = 0.
Kita bisa gunakan rumus kuadrat atau faktorisasi. Mari kita faktorkan:
Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2*6 = 12 dan jika dijumlahkan menghasilkan -13. Bilangan tersebut adalah -12 dan -1.

2x^2 - 12x - x + 6 = 0
2x(x - 6) - 1(x - 6) = 0
(2x - 1)(x - 6) = 0

Ini memberikan akar-akar:
x = 1/2 atau x = 6

Karena pertidaksamaannya adalah >= 0, maka solusi berada di luar akar-akar tersebut (daerah positif pada grafik parabola).
Jadi, solusi untuk bagian b adalah x <= 1/2 atau x >= 6.