Carilah semua nilai a sehingga grafik y=|| x+3|-a|-3

Nilai $a$ agar grafik memotong sumbu X sebanyak tiga kali adalah $a=3$.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan $y = || x+3|-a|-3$. Kita ingin mencari nilai $a$ agar grafik fungsi ini memotong sumbu X sebanyak tiga kali. Grafik memotong sumbu X ketika $y=0$.
Jadi, $|| x+3|-a|-3 = 0$, atau $|| x+3|-a| = 3$.
Ini berarti:
1. $|x+3|-a = 3 
   |x+3| = a+3$
2. $|x+3|-a = -3 
   |x+3| = a-3$

Untuk $|x+3| = a+3$:
Agar memiliki solusi, $a+3 
less 0$, sehingga $a 
less -3$. Jika $a+3 > 0$, maka akan ada dua solusi: $x+3 = a+3$ (yaitu $x=a$) atau $x+3 = -(a+3)$ (yaitu $x = -a-6$). Jika $a+3=0$ (yaitu $a=-3$), maka hanya ada satu solusi: $x+3=0$ (yaitu $x=-3$).

Untuk $|x+3| = a-3$:
Agar memiliki solusi, $a-3 
less 0$, sehingga $a 
less 3$. Jika $a-3 > 0$, maka akan ada dua solusi: $x+3 = a-3$ (yaitu $x = a-6$) atau $x+3 = -(a-3)$ (yaitu $x = -a$). Jika $a-3=0$ (yaitu $a=3$), maka hanya ada satu solusi: $x+3=0$ (yaitu $x=-3$).

Kita membutuhkan total tiga solusi untuk $x$.
Mari kita analisis kasus-kasus berdasarkan nilai $a$:

Kasus 1: $a > 3$. 
- Dari $|x+3| = a+3$: $a+3 > 6 > 0$. Akan ada 2 solusi: $x=a$ dan $x=-a-6$. 
- Dari $|x+3| = a-3$: $a-3 > 0$. Akan ada 2 solusi: $x=a-6$ dan $x=-a$.
Total solusi bisa 2, 3, atau 4, tergantung apakah solusinya tumpang tindih.
Solusi-solusinya adalah $a, -a-6, a-6, -a$. 
Kita ingin tiga solusi unik. Ini terjadi jika salah satu solusi dari $|x+3|=a+3$ sama dengan salah satu solusi dari $|x+3|=a-3$. 
Periksa kesamaan:
   - $a = a-6$ (tidak mungkin)
   - $a = -a 
     2a = 0 
     a = 0$ (tidak masuk dalam kasus ini)
   - $-a-6 = a-6 
     -a = a 
     2a = 0 
     a = 0$ (tidak masuk dalam kasus ini)
   - $-a-6 = -a 
     -6 = 0$ (tidak mungkin)

Jadi, jika $a>3$, kita akan selalu mendapatkan 4 solusi yang berbeda (kecuali jika $a=0$ yang tidak termasuk dalam kasus ini).

Kasus 2: $a = 3$. 
- Dari $|x+3| = a+3 = 6$: $x+3 = 6$ atau $x+3 = -6$. Jadi $x=3$ atau $x=-9$. (2 solusi)
- Dari $|x+3| = a-3 = 0$: $x+3 = 0$. Jadi $x=-3$. (1 solusi)
Total solusi adalah 3: $x = 3, -9, -3$. Jadi $a=3$ adalah salah satu nilai yang dicari.

Kasus 3: $0 < a < 3$. 
- Dari $|x+3| = a+3$: $3 < a+3 < 6$. Akan ada 2 solusi: $x=a$ dan $x=-a-6$. 
- Dari $|x+3| = a-3$: $a-3 < 0$. Tidak ada solusi.
Total solusi hanya 2. (tidak memenuhi)

Kasus 4: $a = 0$. 
- Dari $|x+3| = a+3 = 3$: $x+3 = 3$ atau $x+3 = -3$. Jadi $x=0$ atau $x=-6$. (2 solusi)
- Dari $|x+3| = a-3 = -3$: $-3 < 0$. Tidak ada solusi.
Total solusi hanya 2. (tidak memenuhi)

Kasus 5: $-3 < a < 0$. 
- Dari $|x+3| = a+3$: $0 < a+3 < 3$. Akan ada 2 solusi: $x=a$ dan $x=-a-6$. 
- Dari $|x+3| = a-3$: $a-3 < -3$. Tidak ada solusi.
Total solusi hanya 2. (tidak memenuhi)

Kasus 6: $a = -3$. 
- Dari $|x+3| = a+3 = 0$: $x+3 = 0$. Jadi $x=-3$. (1 solusi)
- Dari $|x+3| = a-3 = -6$: $-6 < 0$. Tidak ada solusi.
Total solusi hanya 1. (tidak memenuhi)

Kasus 7: $a < -3$. 
- Dari $|x+3| = a+3$: $a+3 < 0$. Tidak ada solusi.
- Dari $|x+3| = a-3$: $a-3 < -6$. Tidak ada solusi.
Total solusi 0. (tidak memenuhi)

Sekarang kita perlu mempertimbangkan kemungkinan kedua persamaan $|x+3|=a+3$ dan $|x+3|=a-3$ menghasilkan solusi yang sama, sehingga jumlah solusi total menjadi 3.

Kita tahu $|x+3| 
less 0$. Jadi kita harus punya $a+3 
less 0$ dan $a-3 
less 0$. Ini berarti $a 
less -3$ dan $a 
less 3$. Jadi $a < -3$. Namun, ini tidak memberikan solusi sama sekali. 

Mari kita periksa lagi $|x+3| = C$. Jika $C>0$, ada 2 solusi. Jika $C=0$, ada 1 solusi. Jika $C<0$, tidak ada solusi.

Kita punya dua persamaan: $|x+3|=a+3$ dan $|x+3|=a-3$.

Agar total ada 3 solusi, salah satu dari kasus berikut harus terjadi:
(A) Satu persamaan punya 2 solusi dan satu persamaan punya 1 solusi, dan solusinya tidak tumpang tindih.
(B) Satu persamaan punya 2 solusi dan satu persamaan punya 0 solusi, dan kedua persamaan menghasilkan solusi yang sama.
(C) Kedua persamaan punya 1 solusi yang sama.
(D) Satu persamaan punya 2 solusi, dan satu persamaan punya 2 solusi, tetapi kedua persamaan tersebut menghasilkan total 3 solusi unik (artinya ada 1 solusi yang sama).

Mari kita analisis kembali:

1. $|x+3| = a+3$ dan $|x+3| = a-3$.
   Agar ada 3 solusi, kita perlu salah satu dari persamaan ini menghasilkan satu solusi (yaitu argumennya nol) dan yang lain menghasilkan dua solusi.
   Kasus 1.1: $a+3 = 0 
     			 			 a = -3$.
     Maka $|x+3|=0 
     			 			 x+3=0 
     			 			 x = -3$ (1 solusi).
     Persamaan kedua menjadi $|x+3| = -3-3 = -6$. Ini tidak punya solusi.
     Total solusi: 1. (Tidak memenuhi)

   Kasus 1.2: $a-3 = 0 
     			 			 a = 3$.
     Maka $|x+3|=0 
     			 			 x+3=0 
     			 			 x = -3$ (1 solusi).
     Persamaan kedua menjadi $|x+3| = 3+3 = 6$. 
     $x+3=6$ atau $x+3=-6$
     $x=3$ atau $x=-9$ (2 solusi).
     Total solusi: 3. (Memenuhi) => $a=3$

2. Kedua persamaan menghasilkan solusi yang sama.
   Ini terjadi jika $a+3 = a-3$ (tidak mungkin) atau jika himpunan solusi dari kedua persamaan sama.
   Solusi dari $|x+3| = C$ adalah $x = -3 
y 
 C$ dan $x = -3 - C$.

   Jika $a+3 = a-3$, maka $3 = -3$, tidak mungkin.

   Kemungkinan lain adalah salah satu solusi dari $|x+3|=a+3$ sama dengan salah satu solusi dari $|x+3|=a-3$, dan keduanya menghasilkan total 3 solusi.
   Ini berarti salah satu dari $a+3$ atau $a-3$ adalah negatif (sehingga tidak punya solusi), dan yang lainnya positif (punya 2 solusi), dan ini sudah kita analisis di Kasus 2, hanya $a=3$ yang memenuhi.

   Mari kita pertimbangkan situasi di mana $a+3$ dan $a-3$ keduanya positif, tetapi satu solusi tumpang tindih.
   Solusi dari $|x+3| = a+3$ adalah $x_1 = -3 + (a+3) = a$ dan $x_2 = -3 - (a+3) = -a-6$.
   Solusi dari $|x+3| = a-3$ adalah $x_3 = -3 + (a-3) = a-6$ dan $x_4 = -3 - (a-3) = -a$.
   Kita butuh 3 solusi unik dari $a, -a-6, a-6, -a$.
   Ini terjadi jika dua solusi sama. 
   - $a = -a 
     2a = 0 
     a = 0$. 
     Jika $a=0$, solusinya adalah $0, -6, -6, 0$. Hanya ada 2 solusi unik ($0$ dan $-6$). (Tidak memenuhi).
   - $a = a-6$ (tidak mungkin)
   - $a = -a-6 
     2a = -6 
     a = -3$. 
     Jika $a=-3$, solusinya adalah $-3, 3, -9, 3$. Solusinya adalah $-3, 3, -9$. Ada 3 solusi unik. (Memenuhi) => $a=-3$. Tapi kita harus periksa syaratnya, yaitu $a+3 > 0$ dan $a-3 > 0$. Jika $a=-3$, maka $a+3=0$ dan $a-3=-6$. Ini bertentangan dengan asumsi $a+3>0$ dan $a-3>0$. Jadi kita perlu kembali ke analisis kasus.

Mari kita fokus pada jumlah solusi dari $|X|=C$ dimana $X=x+3$.

Persamaan 1: $|x+3| = a+3$
Persamaan 2: $|x+3| = a-3$

Agar total ada 3 solusi:

Situasi A: Satu persamaan memberikan 1 solusi, yang lain memberikan 2 solusi.
   Ini terjadi jika salah satu dari $a+3$ atau $a-3$ adalah 0, dan yang lainnya positif.
   - Jika $a+3=0 
     			 			 a=-3$. Maka $|x+3|=0$ (1 solusi, $x=-3$) dan $|x+3|=a-3=-6$ (0 solusi).
     Total = 1 solusi. (Tidak memenuhi)
   - Jika $a-3=0 
     			 			 a=3$. Maka $|x+3|=a+3=6$ (2 solusi, $x=3, x=-9$) dan $|x+3|=a-3=0$ (1 solusi, $x=-3$).
     Total = 3 solusi. (Memenuhi) => $a=3$.

Situasi B: Kedua persamaan memberikan 2 solusi, tetapi satu solusi tumpang tindih.
   Agar kedua persamaan memberikan 2 solusi, kita harus punya $a+3 > 0$ dan $a-3 > 0$. Ini berarti $a > 3$ dan $a > 3$, jadi $a > 3$.
   Solusi dari $|x+3|=a+3$ adalah $x = -3 
y 
 (a+3)$, yaitu $x = a$ atau $x = -a-6$.
   Solusi dari $|x+3|=a-3$ adalah $x = -3 
y 
 (a-3)$, yaitu $x = a-6$ atau $x = -a$.
   Agar ada 3 solusi unik, salah satu solusi dari persamaan pertama harus sama dengan salah satu solusi dari persamaan kedua.
   
   - $a = a-6 
     			 			 0 = -6$ (tidak mungkin)
   - $a = -a 
     			 			 2a = 0 
     			 			 a = 0$. (Tidak memenuhi syarat $a > 3$)
   - $-a-6 = a-6 
     			 			 -a = a 
     			 			 2a = 0 
     			 			 a = 0$. (Tidak memenuhi syarat $a > 3$)
   - $-a-6 = -a 
     			 			 -6 = 0$ (tidak mungkin)
   
   Jadi, Situasi B tidak menghasilkan nilai $a$ baru.

Mari kita pertimbangkan kasus ketika salah satu dari $a+3$ atau $a-3$ adalah negatif, tetapi yang lain positif, dan solusi dari persamaan yang memiliki solusi tumpang tindih.

Kita sudah punya $a=3$ dari Situasi A.

Perhatikan kembali grafiknya. $y = || x+3|-a|-3$. 
Grafik $y = |x|$ adalah V dengan puncak di (0,0).
Grafik $y = |x+3|$ adalah V dengan puncak di (-3,0).
Grafik $y = |x+3|-a$ adalah V dengan puncak di (-3, -a).
Grafik $y = ||x+3|-a|$ adalah V yang dilipat ke atas jika $a 
less 0$. Jika $a > 0$, bagian bawah V (sebelum dilipat) akan berada di atas sumbu x.

Jika $a > 0$, $y = |x+3|-a$ memiliki puncak di $(-3, -a)$. Nilai minimumnya adalah $-a$. Saat kita ambil nilai absolutnya $||x+3|-a|$, maka bagian negatif dari grafik (di bawah sumbu x) akan dicerminkan ke atas. Puncak baru akan ada di $(-3, a)$ jika $-a < 0$, yaitu $a > 0$. Dan akan ada dua titik di mana $|x+3|-a = 0$, yaitu $x+3 = 
y 
 a$, sehingga $x = -3 
y 
 a$. Titik-titik ini adalah $(-3-a, 0)$ dan $(-3+a, 0)$. Puncak di $(-3, a)$ adalah puncak 'dalam' dari bentuk M.

Kemudian grafik digeser ke bawah sejauh 3 unit: $y = ||x+3|-a|-3$. Puncak baru ada di $(-3, a-3)$. Titik-titik yang tadinya di sumbu x sekarang menjadi di $y=-3$. Puncak 'dalam' yang tadinya di $(-3, a)$ sekarang menjadi di $(-3, a-3)$.

Agar grafik memotong sumbu X sebanyak tiga kali, puncak 'dalam' harus berada di sumbu X, atau salah satu dari titik potong harus sama.

Titik potong sumbu X adalah ketika $||x+3|-a|-3 = 0$, atau $||x+3|-a|=3$.
Ini berarti $|x+3|-a = 3$ atau $|x+3|-a = -3$.
$|x+3| = a+3$ atau $|x+3| = a-3$.

Kasus 1: $a+3 > 0$ dan $a-3 < 0$. (yaitu $-3 < a < 3$)
   $|x+3| = a+3$ memiliki 2 solusi.
   $|x+3| = a-3$ tidak punya solusi.
   Total 2 solusi. (Tidak memenuhi)

Kasus 2: $a+3 = 0$ dan $a-3 < 0$. (yaitu $a = -3$)
   $|x+3| = 0$ memiliki 1 solusi ($x=-3$).
   $|x+3| = -6$ tidak punya solusi.
   Total 1 solusi. (Tidak memenuhi)

Kasus 3: $a+3 > 0$ dan $a-3 = 0$. (yaitu $a = 3$)
   $|x+3| = 6$ memiliki 2 solusi ($x=3, x=-9$).
   $|x+3| = 0$ memiliki 1 solusi ($x=-3$).
   Total 3 solusi. (Memenuhi) => $a=3$.

Kasus 4: $a+3 > 0$ dan $a-3 > 0$. (yaitu $a > 3$)
   $|x+3| = a+3$ memiliki 2 solusi: $x = a$ dan $x = -a-6$.
   $|x+3| = a-3$ memiliki 2 solusi: $x = a-6$ dan $x = -a$.
   Agar total ada 3 solusi, salah satu solusi dari persamaan pertama harus sama dengan salah satu solusi dari persamaan kedua.
   - $a = a-6$ (mustahil)
   - $a = -a 
     			 			 2a = 0 
     			 			 a = 0$. (Tidak memenuhi syarat $a>3$)
   - $-a-6 = a-6 
     			 			 -a = a 
     			 			 2a = 0 
     			 			 a = 0$. (Tidak memenuhi syarat $a>3$)
   - $-a-6 = -a 
     			 			 -6 = 0$ (mustahil)
   
   Jadi, jika $a>3$, kita akan selalu mendapatkan 4 solusi yang berbeda.

Kasus 5: $a+3 = 0$ dan $a-3 > 0$. (Tidak mungkin karena $a=-3$ dan $a>3$ secara bersamaan).

Kasus 6: $a+3 < 0$. (yaitu $a < -3$)
   $|x+3| = a+3$ tidak punya solusi.
   $|x+3| = a-3$ tidak punya solusi.
   Total 0 solusi. (Tidak memenuhi)

Satu-satunya nilai $a$ yang memungkinkan adalah $a=3$.