Diketahui nilai tan a=-(akar(7)/3), a sudut di kuadran II

Nilai dari ekspresi tersebut adalah 56√11 / (75 - 35√11) berdasarkan perhitungan langsung.

Pembahasan

Diketahui:
tan a = -√7/3, a di kuadran II
cos b = 5/6, b di kuadran IV

Langkah 1: Cari nilai sin a, cos a, sin b, dan tan b.
Karena a di kuadran II, sin a positif dan cos a negatif.
sin a = √(1 - cos² a) = √(1 - (-√7/3)²) = √(1 - 7/9) = √(2/9) = √2/3
cos a = -√7/3 (sudah diketahui dari tan a = sin a / cos a = (√2/3) / (-√7/3) = -√2/√7 = -√14/7, ini tidak sesuai dengan soal tan a = -√7/3, mari kita hitung ulang sin a dan cos a dari tan a)

Jika tan a = -√7/3 dan a di kuadran II:
Kita bisa menggunakan segitiga siku-siku referensi. Sisi depan = √7, sisi samping = 3. Sisi miring = √( (√7)² + 3² ) = √(7 + 9) = √16 = 4.
Karena a di kuadran II, sin a positif, cos a negatif.
sin a = depan/miring = √7/4
cos a = -samping/miring = -3/4

Karena b di kuadran IV, sin b negatif, cos b positif.
sin b = -√(1 - cos² b) = -√(1 - (5/6)²) = -√(1 - 25/36) = -√(11/36) = -√11/6
tan b = sin b / cos b = (-√11/6) / (5/6) = -√11/5

Langkah 2: Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam ekspresi yang diberikan.
Ekspresi: (tan a tan b) / (sin a sin b - cos a cos b)

Numerator: tan a tan b = (-√7/3) * (-√11/5) = 7√11 / 15

Denominator:
sin a sin b = (√7/4) * (-√11/6) = -7√11 / 24
cos a cos b = (-3/4) * (5/6) = -15/24
sin a sin b - cos a cos b = (-7√11 / 24) - (-15/24) = (-7√11 + 15) / 24

Langkah 3: Hitung hasil akhir.
(tan a tan b) / (sin a sin b - cos a cos b) = (7√11 / 15) / ( (15 - 7√11) / 24 )
= (7√11 / 15) * (24 / (15 - 7√11))
= (7√11 * 24) / (15 * (15 - 7√11))
= (168√11) / (225 - 105√11)

Mari kita periksa kembali perhitungan cos a dari tan a. Jika tan a = -√7/3, maka sisi depan = √7 dan sisi samping = 3. Sisi miring = √( (√7)² + 3²) = √16 = 4. Karena a di kuadran II, sin a positif dan cos a negatif. Jadi sin a = √7/4 dan cos a = -3/4. Ini sudah benar.

Mari kita periksa kembali perhitungan tan b. Jika cos b = 5/6 dan b di kuadran IV, sin b negatif. sin b = -√(1 - (5/6)²) = -√(11/36) = -√11/6. tan b = sin b / cos b = (-√11/6) / (5/6) = -√11/5. Ini juga sudah benar.

Ekspresi: (tan a tan b) / (sin a sin b - cos a cos b)

Numerator: tan a tan b = (-√7/3) * (-√11/5) = 7√11 / 15

Denominator:
sin a sin b = (√7/4) * (-√11/6) = -7√11 / 24
cos a cos b = (-3/4) * (5/6) = -15/24
sin a sin b - cos a cos b = (-7√11 / 24) - (-15/24) = (15 - 7√11) / 24

Nilai ekspresi = (7√11 / 15) / ((15 - 7√11) / 24)
= (7√11 / 15) * (24 / (15 - 7√11))
= (7√11 * 8) / (5 * (15 - 7√11))
= 56√11 / (75 - 35√11)

Mungkin ada cara yang lebih sederhana atau kesalahan dalam penafsiran soal. Mari kita coba gunakan identitas trigonometri.

Ekspresi: (tan a tan b) / (sin a sin b - cos a cos b)
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan cos a cos b:
= (tan a tan b / (cos a cos b)) / ( (sin a sin b / (cos a cos b)) - (cos a cos b / (cos a cos b)) )
= (tan a tan b / (cos a cos b)) / (tan a tan b - 1)

Ini tampaknya tidak menyederhanakan.

Mari kita coba identitas cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b.
Jadi, sin a sin b - cos a cos b = - (cos a cos b - sin a sin b) = -cos(a+b).

Ekspresi menjadi: (tan a tan b) / (-cos(a+b))

Kita perlu mencari cos(a+b).
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b
cos(a+b) = (-3/4)(5/6) - (√7/4)(-√11/6)
cos(a+b) = -15/24 - (-7√77/24)
cos(a+b) = (-15 + 7√77) / 24

Maka, -cos(a+b) = (15 - 7√77) / 24

Ekspresi = (7√11 / 15) / ((15 - 7√77) / 24)
= (7√11 / 15) * (24 / (15 - 7√77))
= (7√11 * 8) / (5 * (15 - 7√77))
= 56√11 / (75 - 35√77)

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau saya melakukan kesalahan perhitungan.

Mari kita coba pendekatan lain dengan memanipulasi soalnya: tan a = -√7/3, cos b = 5/6
Perhatikan penyebut: sin a sin b - cos a cos b. Ini adalah -(cos a cos b - sin a sin b) = -cos(a+b).
Perhatikan pembilang: tan a tan b.

Kita punya tan a = -√7/3. Karena a di kuadran II, sin a > 0, cos a < 0.
Jika tan a = -√7/3, maka kita bisa anggap sisi depan = √7, sisi samping = 3. Sisi miring = √( (√7)² + 3²) = √16 = 4.
Jadi, sin a = √7/4, cos a = -3/4.

Kita punya cos b = 5/6. Karena b di kuadran IV, sin b < 0, cos b > 0.
sin b = -√(1 - cos² b) = -√(1 - (5/6)²) = -√(1 - 25/36) = -√(11/36) = -√11/6.
Jadi, tan b = sin b / cos b = (-√11/6) / (5/6) = -√11/5.

Sekarang kita hitung nilai ekspresi:
tan a tan b = (-√7/3) * (-√11/5) = 7√11 / 15

sin a sin b = (√7/4) * (-√11/6) = -7√11 / 24
cos a cos b = (-3/4) * (5/6) = -15/24

sin a sin b - cos a cos b = (-7√11 / 24) - (-15/24) = (15 - 7√11) / 24

Nilai ekspresi = (7√11 / 15) / ((15 - 7√11) / 24)
= (7√11 / 15) * (24 / (15 - 7√11))
= (7√11 * 8) / (5 * (15 - 7√11))
= 56√11 / (75 - 35√11)

Ada kemungkinan ada kesalahan ketik pada soal atau saya melakukan kesalahan interpretasi. Namun, berdasarkan perhitungan yang ada, hasilnya adalah 56√11 / (75 - 35√11). Jika soal ini berasal dari sumber tertentu, ada baiknya diperiksa kembali.

Mari kita asumsikan ada kesalahan pada soal dan coba cari nilai yang lebih sederhana jika dimungkinkan. Namun, dengan data yang diberikan, inilah hasil perhitungannya.