|CD|=2|BD| dan G di tengah-tengah AC. Jika |GD|=r AB+s AC ,

1/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep vektor dan sifat-sifat segitiga. Diketahui |CD|=2|BD|, yang berarti D membagi segmen BC dengan perbandingan 1:2. G adalah titik tengah AC. Kita dapat menyatakan vektor GD dalam bentuk vektor AB dan AC. Misalkan B adalah titik asal, maka $\vec{GD} = \vec{BD} - \vec{BG}$. Karena D membagi BC dengan perbandingan 1:2, maka $\vec{BD} = \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$. Karena G adalah titik tengah AC, maka $\vec{BG} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) = -\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$. Maka, $\vec{GD} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) - (-\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} = (1 - \frac{1}{3})\vec{AB} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AB} - \frac{1}{6}\vec{AC}$. Terdapat kesalahan dalam penentuan vektor GD. Mari kita coba dengan titik A sebagai titik asal. $\vec{AB} = b$, $\vec{AC} = c$. Maka $\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{AB}$. $\vec{AG} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. $\vec{GD} = \vec{AD} - \vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AB} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{AB} - \frac{1}{6}\vec{AC}$. Jika $\vec{GD} = r \vec{AB} + s \vec{AC}$, maka $r = \frac{2}{3}$ dan $s = -\frac{1}{6}$. Maka $r+s = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.