(cos(t) - cos(3t))/(sin(t) + sin(3t)) = tan(t)

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus penjumlahan/pengurangan trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri \((\cos(t) - \cos(3t))/(\sin(t) + \sin(3t)) = \tan(t)\), kita akan menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan fungsi trigonometri.

Rumus yang relevan adalah:
*   \(\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\)
*   \(\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\)

Mari kita terapkan rumus ini pada sisi kiri persamaan:

Pembilang: \(\cos(t) - \cos(3t)\)
Gunakan rumus \(\cos A - \cos B\) dengan \(A=t\) dan \(B=3t\).
\(\frac{A+B}{2} = \frac{t+3t}{2} = \frac{4t}{2} = 2t\)
\(\frac{A-B}{2} = \frac{t-3t}{2} = \frac{-2t}{2} = -t\)
Jadi, \(\cos(t) - \cos(3t) = -2 \sin(2t) \sin(-t)\)
Karena \(\sin(-t) = -\sin(t)\), maka pembilang menjadi \(-2 \sin(2t) (-\sin(t)) = 2 \sin(2t) \sin(t)\).


Penyebut: \(\sin(t) + \sin(3t)\)
Gunakan rumus \(\sin A + \sin B\) dengan \(A=t\) dan \(B=3t\).
\(\frac{A+B}{2} = \frac{t+3t}{2} = \frac{4t}{2} = 2t\)
\(\frac{A-B}{2} = \frac{t-3t}{2} = \frac{-2t}{2} = -t\)
Jadi, \(\sin(t) + \sin(3t) = 2 \sin(2t) \cos(-t)\)
Karena \(\cos(-t) = \cos(t)\), maka penyebut menjadi \(2 \sin(2t) \cos(t)\).

Sekarang, kita gabungkan kembali pembilang dan penyebut:

\(\frac{2 \sin(2t) \sin(t)}{2 \sin(2t) \cos(t)}\)

Kita bisa membatalkan \(2 \sin(2t)\) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi \(\sin(2t) \neq 0\)), sehingga tersisa:

\(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\)

Yang kita tahu sama dengan \(\tan(t)\).

Jadi, \((\cos(t) - \cos(3t))/(\sin(t) + \sin(3t)) = \tan(t)\) telah terbukti.