Tentukan Sketsa grafik kurva dari kurva y=x^4-4x^3+27

Grafik memiliki minimum lokal di (3,0) dan titik belok di (0,27) serta (2,11). Fungsi turun hingga x=3, naik setelahnya. Cekung ke atas sebelum x=0 dan setelah x=2, cekung ke bawah antara x=0 dan x=2.

Pembahasan

Untuk membuat sketsa grafik kurva dari fungsi y = x⁴ - 4x³ + 27, kita perlu menganalisis beberapa sifat fungsi, seperti turunan pertama untuk mencari titik kritis dan interval naik/turun, serta turunan kedua untuk mencari titik belok dan kecekungan.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Cari turunan pertama (y')**:
y' = d/dx (x⁴ - 4x³ + 27)
y' = 4x³ - 12x²

2.  **Cari titik kritis** (di mana y' = 0 atau tidak terdefinisi):
4x³ - 12x² = 0
4x²(x - 3) = 0
Ini memberikan solusi x = 0 (dengan multiplisitas 2) dan x = 3.

3.  **Tentukan interval naik/turun** menggunakan titik-titik kritis:
*   Untuk x < 0 (misal x = -1): y' = 4(-1)³ - 12(-1)² = -4 - 12 = -16 (negatif, fungsi turun)
*   Untuk 0 < x < 3 (misal x = 1): y' = 4(1)³ - 12(1)² = 4 - 12 = -8 (negatif, fungsi turun)
*   Untuk x > 3 (misal x = 4): y' = 4(4)³ - 12(4)² = 4(64) - 12(16) = 256 - 192 = 64 (positif, fungsi naik)

Karena y' tidak berubah tanda di x = 0, maka x = 0 bukan merupakan maksimum atau minimum lokal, melainkan titik belok horizontal. Di x = 3, y' berubah dari negatif ke positif, sehingga ada minimum lokal di x = 3.

Hitung nilai y pada titik kritis:
*   Di x = 0: y = (0)⁴ - 4(0)³ + 27 = 27. Titik (0, 27).
*   Di x = 3: y = (3)⁴ - 4(3)³ + 27 = 81 - 4(27) + 27 = 81 - 108 + 27 = 0. Titik (3, 0).

4.  **Cari turunan kedua (y'')**:
y'' = d/dx (4x³ - 12x²)
y'' = 12x² - 24x

5.  **Cari titik belok** (di mana y'' = 0 atau tidak terdefinisi):
12x² - 24x = 0
12x(x - 2) = 0
Ini memberikan solusi x = 0 dan x = 2.

6.  **Tentukan interval kecekungan** menggunakan titik-titik belok:
*   Untuk x < 0 (misal x = -1): y'' = 12(-1)² - 24(-1) = 12 + 24 = 36 (positif, cekung ke atas)
*   Untuk 0 < x < 2 (misal x = 1): y'' = 12(1)² - 24(1) = 12 - 24 = -12 (negatif, cekung ke bawah)
*   Untuk x > 2 (misal x = 3): y'' = 12(3)² - 24(3) = 12(9) - 72 = 108 - 72 = 36 (positif, cekung ke atas)

Perubahan kecekungan terjadi di x = 0 dan x = 2, jadi kedua titik ini adalah titik belok.

Hitung nilai y pada titik belok x = 2:
y = (2)⁴ - 4(2)³ + 27 = 16 - 4(8) + 27 = 16 - 32 + 27 = 11. Titik (2, 11).

**Ringkasan Sifat Grafik:**
*   Titik potong sumbu y: (0, 27)
*   Titik potong sumbu x: (3, 0) (minimum lokal)
*   Titik belok: (0, 27) dan (2, 11)
*   Fungsi turun pada (-∞, 3)
*   Fungsi naik pada (3, ∞)
*   Fungsi cekung ke atas pada (-∞, 0) dan (2, ∞)
*   Fungsi cekung ke bawah pada (0, 2)

**Sketsa Grafik:**
Grafik dimulai dari kiri atas (naik, cekung ke atas), kemudian menurun hingga titik (0, 27). Di (0, 27), grafik berubah menjadi cekung ke bawah sambil terus menurun hingga mencapai minimum lokal di (3, 0). Setelah (3, 0), grafik mulai naik dan menjadi cekung ke atas. Perlu dicatat bahwa di (0, 27) dan (2, 11) adalah titik belok, dengan (0, 27) juga merupakan titik potong sumbu y dan (3,0) adalah minimum lokalnya.