cos theta/(1-sin theta)= ...

cos theta/(1-sin theta) = sec theta + tan theta atau (1 + sin theta)/cos theta.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi \(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}\), kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu \((1+\sin \theta)\).

\(\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta} \times \frac{1+\sin \theta}{1+\sin \theta}\)

Perkalian pembilang:
\(\cos \theta (1 + \sin \theta) = \cos \theta + \cos \theta \sin \theta\)

Perkalian penyebut (menggunakan selisih kuadrat \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)):
\((1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta) = 1^2 - \sin^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)

Dari identitas trigonometri dasar, kita tahu bahwa \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Oleh karena itu, \(1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta\).

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
\(\frac{\cos \theta + \cos \theta \sin \theta}{\cos^2 \theta}\)

Kita bisa memisahkan suku-sukunya:
\(\frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos \theta \sin \theta}{\cos^2 \theta}\)

Menyederhanakan setiap suku:
\(\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

Menggunakan identitas trigonometri \(\frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta\) dan \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta\), maka ekspresi tersebut adalah:
\(\sec \theta + \tan \theta\)

Alternatif lain, kita bisa menyederhanakan dari \(\frac{\cos \theta + \cos \theta \sin \theta}{\cos^2 \theta}\) dengan memfaktorkan \(\cos \theta\) di pembilang:
\(\frac{\cos \theta (1 + \sin \theta)}{\cos^2 \theta}\)

Jika \(\cos \theta \neq 0\), kita bisa membatalkan \(\cos \theta\):
\(\frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta}\)

Ini juga merupakan bentuk jawaban yang valid.