Daerah hasil fungsi rasional f(x)=(x+1)/(x-2) adalah ....

{y | y ∈ R, y ≠ 1}

Pembahasan

Fungsi rasional yang diberikan adalah f(x) = (x + 1) / (x - 2).

Daerah hasil (range) dari sebuah fungsi adalah himpunan semua nilai output (y) yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut. Untuk mencari daerah hasil, kita perlu mengidentifikasi nilai-nilai yang tidak dapat dicapai oleh fungsi.

Sebuah fungsi rasional memiliki asimtot horizontal jika derajat pembilang sama dengan atau kurang dari derajat penyebut. Dalam kasus ini, derajat pembilang (x + 1) adalah 1, dan derajat penyebut (x - 2) juga 1. Karena derajatnya sama, maka terdapat asimtot horizontal.

Untuk mencari asimtot horizontal, kita bandingkan koefisien dari suku berpangkat tertinggi di pembilang dan penyebut:
Asimtot horizontal (y) = (koefisien x di pembilang) / (koefisien x di penyebut)
Asimtot horizontal (y) = 1 / 1 = 1

Ini berarti bahwa nilai y = 1 tidak akan pernah dicapai oleh fungsi ini, terlepas dari nilai x yang dimasukkan (selama x bukan 2, yang merupakan domain yang dilarang karena membuat penyebut menjadi nol).

Untuk memastikannya secara aljabar, kita bisa mencoba menyelesaikan persamaan y = f(x) untuk x:
y = (x + 1) / (x - 2)
y(x - 2) = x + 1
yx - 2y = x + 1
yx - x = 2y + 1
x(y - 1) = 2y + 1
x = (2y + 1) / (y - 1)

Agar x terdefinisi (memiliki nilai riil), penyebut (y - 1) tidak boleh sama dengan nol. Jadi, y - 1 ≠ 0, yang berarti y ≠ 1.

Oleh karena itu, daerah hasil dari fungsi rasional f(x) = (x + 1) / (x - 2) adalah semua bilangan riil kecuali 1.

Dalam notasi himpunan, daerah hasilnya adalah {y | y ∈ R, y ≠ 1}.
Atau dalam notasi interval: (-∞, 1) ∪ (1, ∞).