Daerah x yang merupakan daerah cekung ke bawah dari f(x) =

Daerah cekung ke bawah adalah $-\frac{\pi}{4} + 2n\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$, n bilangan bulat.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah di mana fungsi $f(x) = 2 \sin(x) + 2 \cos(x)$ cekung ke bawah, kita perlu mencari turunan kedua fungsi tersebut dan menentukan di mana turunan kedua bernilai negatif.

1. Tentukan turunan pertama ($f'(x)$):
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin(x) + 2 \cos(x))$
$f'(x) = 2 \cos(x) - 2 \sin(x)$

2. Tentukan turunan kedua ($f''(x)$):
$f''(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos(x) - 2 \sin(x))$
$f''(x) = -2 \sin(x) - 2 \cos(x)$

3. Tentukan kapan $f''(x) < 0$ untuk daerah cekung ke bawah:
$-2 \sin(x) - 2 \cos(x) < 0$
$-2(\sin(x) + \cos(x)) < 0$
Bagilah kedua sisi dengan -2 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
$\, \sin(x) + \cos(x) > 0$

Untuk menyelesaikan $\, \sin(x) + \cos(x) > 0$, kita bisa mengubah bentuknya ke bentuk $R \sin(x + \alpha)$ atau $R \cos(x - \alpha)$.
Mari kita gunakan $R \cos(x - \alpha) = R(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$.
Dalam kasus ini, kita memiliki $1 \cdot \cos(x) + 1 \cdot \sin(x)$.
Jadi, $R \cos \alpha = 1$ dan $R \sin \alpha = 1$.
Kuadratkan dan jumlahkan: $R^2 \cos^2 \alpha + R^2 \sin^2 \alpha = 1^2 + 1^2$
$R^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2$
$R^2(1) = 2 
Rightarrow R = \sqrt{2}$

Bagi kedua persamaan: $\frac{R \sin \alpha}{R \cos \alpha} = \frac{1}{1}$
$\, \tan \alpha = 1$
$\, \alpha = \frac{\pi}{4}$

Jadi, $\, \sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$

Kita perlu menyelesaikan $\, \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) > 0$
$\, \cos(x - \frac{\pi}{4}) > 0$

KosSerin positif pada kuadran I dan IV. Jadi:
$-\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$

Tambahkan $\frac{\pi}{4}$ ke semua bagian:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$

$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$

Ini adalah interval untuk satu periode. Karena fungsi trigonometri bersifat periodik dengan periode $2\pi$, daerah cekung ke bawah umum adalah:
$-\frac{\pi}{4} + 2n\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$, di mana $n$ adalah bilangan bulat.

Untuk menentukan daerah cekung ke bawah, kita perlu $f''(x) < 0$, yang berarti $\, \sin(x) + \cos(x) > 0$. Berdasarkan analisis di atas, ini terjadi ketika $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$.

Jadi, daerah $x$ yang merupakan daerah cekung ke bawah dari $f(x) = 2 \sin(x) + 2 \cos(x)$ adalah interval $-\frac{\pi}{4} + 2n\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$, di mana $n$ adalah bilangan bulat.