Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 10mathAljabar

Sederhanakanlah: 7log8 + 2 7log3 - 3 7log(5^(1/2)) + 7log10

Pertanyaan

Sederhanakanlah: $7\log8 + 2 \log7 - 3 \log7(5^{1/2}) + \log7 10 - \log7(14,4) - \log7(10/7)$

Solusi

Verified

Hasil penyederhanaan (dengan asumsi basis 7 untuk semua suku) adalah $\log7 [ \frac{2^{18} \times 7}{\sqrt{5}} ]$.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi logaritma $7\log8 + 2 \log7 - 3 \log7(5^{1/2}) + \log710 - \log7(14,4) - \log7(10/7)$, kita akan menggunakan sifat-sifat logaritma: Sifat-sifat yang digunakan: 1. $a \log b = \log b^a$ 2. $\log a + \log b = \log (a \times b)$ 3. $\log a - \log b = \log (a / b)$ 4. Basis logaritma harus sama untuk menggunakan sifat penjumlahan dan pengurangan. Diasumsikan semua logaritma memiliki basis yang sama, yaitu 7, sesuai dengan notasi pada suku pertama ($7\log8$). Namun, suku-suku berikutnya tidak secara eksplisit menunjukkan basis 7. Kita akan mengasumsikan basisnya adalah 7 untuk semua suku agar bisa disederhanakan. Ekspresi awal: $7\log7 8 + 2 \log7 3 - 3 \log7(5^{1/2}) + \log7 10 - \log7(14,4) - \log7(10/7)$ Mari kita sederhanakan setiap suku: 1. $7\log7 8 = \log7 (8^7)$ 2. $2 \log7 3 = \log7 (3^2) = \log7 9$ 3. $3 \log7 (5^{1/2}) = \log7 ((5^{1/2})^3) = \log7 (5^{3/2})$ 4. $\log7 10$ 5. $-\log7(14,4)$ 6. $-\log7(10/7) = -(\log7 10 - \log7 7) = -\log7 10 + \log7 7 = -\log7 10 + 1$ Sekarang gabungkan suku-suku tersebut: $\log7 (8^7) + \log7 9 - \log7 (5^{3/2}) + \log7 10 - \log7(14,4) - \log7(10/7)$ Gunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma: = $\log7 [ (8^7 \times 9 \times 10) / (5^{3/2} \times 14,4 \times (10/7)) ]$ Ganti 14,4 dengan 144/10 = 72/5: = $\log7 [ (8^7 \times 9 \times 10) / (5^{3/2} \times (72/5) \times (10/7)) ]$ = $\log7 [ (8^7 \times 9 \times 10 \times 5 \times 7) / (5^{3/2} \times 72 \times 10) ]$ Sederhanakan suku-suku yang sama: $10$ di pembilang dan penyebut saling menghilangkan. $5 / 5^{3/2} = 5^1 / 5^{3/2} = 5^{1 - 3/2} = 5^{-1/2}$ $72 = 8 \times 9$ = $\log7 [ (8^7 \times 9 \times 5 \times 7) / (5^{3/2} \times (8 \times 9)) ]$ = $\log7 [ (8^7 \times 5 \times 7) / (5^{3/2} \times 8) ]$ = $\log7 [ (8^6 \times 5 \times 7) / (5^{3/2}) ]$ = $\log7 [ 8^6 \times 7 \times 5^{1 - 3/2} ]$ = $\log7 [ 8^6 \times 7 \times 5^{-1/2} ]$ = $\log7 [ (7 \times 8^6) / \sqrt{5} ]$ **Penting:** Terdapat ketidakjelasan pada soal asli mengenai basis logaritma. Jika basisnya bukan 7 untuk semua suku, maka penyederhanaan tidak dapat dilakukan seperti di atas. Namun, jika kita mengasumsikan basisnya 7 untuk semua suku, hasil akhirnya adalah seperti di atas. Jika kita perhatikan kembali soalnya, ada kemungkinan maksud dari soal adalah: $7\log 8 + 2 \log 3 - 3 \log(5^{1/2}) + \log 10 - \log(14,4) - \log(10/7)$ dengan basis logaritma yang sama (misalnya basis 10). Mari kita coba asumsi basisnya adalah 10: $\log 8^7 + \log 3^2 - \log (5^{1/2})^3 + \log 10 - \log(14,4) - \log(10/7)$ = $\log [ (8^7 \times 3^2 \times 10) / (5^{3/2} \times 14.4 \times (10/7)) ]$ = $\log [ (8^7 \times 9 \times 10) / (5^{3/2} \times (144/10) \times (10/7)) ]$ = $\log [ (8^7 \times 9 \times 10 \times 10 \times 7) / (5^{3/2} \times 144 \times 10) ]$ = $\log [ (8^7 \times 9 \times 10 \times 7) / (5^{3/2} \times 144) ]$ $144 = 16 \times 9$ $8^7 = 8 \times 8^6$ $5^{3/2} = 5 \sqrt{5}$ = $\log [ (8 \times 8^6 \times 9 \times 10 \times 7) / (5 \sqrt{5} \times 16 \times 9) ]$ = $\log [ (8^6 \times 10 \times 7) / (5 \sqrt{5} \times 2) ]$ = $\log [ (8^6 \times 5 \times 7) / (5 \sqrt{5}) ]$ = $\log [ (8^6 \times 7) / \sqrt{5} ]$ Karena ada angka 7 di depan logaritma pada suku pertama, dan angka lain yang tidak konsisten, soal ini kemungkinan memiliki kesalahan pengetikan atau asumsi basis yang perlu diklarifikasi. Jika kita mengikuti penulisan soal persis dan mengasumsikan basis 7 untuk semua suku: $7\log_7 8 + 2 \log_7 3 - 3 \log_7(5^{1/2}) + \log_7 10 - \log_7(14,4) - \log_7(10/7)$ Kita dapat menggunakan sifat $a \log_b c = \log_b c^a$ dan sifat $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$ serta $\log_b x - \log_b y = \log_b (x/y)$. = $\log_7 8^7 + \log_7 3^2 - \log_7 (5^{1/2})^3 + \log_7 10 - \log_7 14.4 - \log_7 (10/7)$ = $\log_7 [ \frac{8^7 \times 3^2 \times 10}{5^{3/2} \times 14.4 \times (10/7)} ]$ = $\log_7 [ \frac{8^7 \times 9 \times 10 \times 7}{5^{3/2} \times 14.4 \times 10} ]$ = $\log_7 [ \frac{8^7 \times 9 \times 7}{5^{3/2} \times (144/10)} ]$ = $\log_7 [ \frac{8^7 \times 9 \times 7 \times 10}{5^{3/2} \times 144} ]$ = $\log_7 [ \frac{8^7 \times 9 \times 7 \times 10}{5^{3/2} \times 16 \times 9} ]$ = $\log_7 [ \frac{8^7 \times 7 \times 10}{5^{3/2} \times 16} ]$ $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$ $16 = 2^4$ $10 = 2 \times 5$ $5^{3/2} = 5\sqrt{5}$ = $\log_7 [ \frac{2^{21} \times 7 \times (2 \times 5)}{5\sqrt{5} \times 2^4} ]$ = $\log_7 [ \frac{2^{22} \times 5 \times 7}{5^{3/2} \times 2^4} ]$ = $\log_7 [ 2^{18} \times 5^{1 - 3/2} \times 7 ]$ = $\log_7 [ 2^{18} \times 5^{-1/2} \times 7 ]$ = $\log_7 [ \frac{2^{18} \times 7}{\sqrt{5}} ]$ Jika ada kesalahan penulisan pada soal dan seharusnya angka 7 di depan log pada suku pertama adalah basisnya, maka: $7 \log 8 + 2 \log 3 - 3 \log(5^{1/2}) + \log 10 - \log(14,4) - \log(10/7)$ dengan basis yang sama. Dengan asumsi basis logaritma adalah 10, hasil penyederhanaannya adalah $\log [ \frac{2^{18} \times 7}{\sqrt{5}} ]$.
Topik: Logaritma
Section: Sifat Sifat Logaritma, Penyederhanaan Ekspresi Logaritma

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...