integral (x^2+1) cos x dx=.......

Hasil integralnya adalah (x^2 - 1) sin x + 2x cos x + C.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menyelesaikan integral tak tentu dari (x^2+1) cos x dx. Kita dapat menggunakan metode integrasi parsial, yang menyatakan bahwa ∫u dv = uv - ∫v du.

Pilih u = x^2 + 1 dan dv = cos x dx.
Maka, du = 2x dx dan v = sin x.

Menerapkan rumus integrasi parsial:
∫(x^2+1) cos x dx = (x^2+1) sin x - ∫(sin x)(2x dx)
∫(x^2+1) cos x dx = (x^2+1) sin x - 2 ∫x sin x dx

Sekarang kita perlu menyelesaikan ∫x sin x dx menggunakan integrasi parsial lagi.
Pilih u = x dan dv = sin x dx.
Maka, du = dx dan v = -cos x.

Menerapkan rumus integrasi parsial:
∫x sin x dx = x(-cos x) - ∫(-cos x) dx
∫x sin x dx = -x cos x + ∫cos x dx
∫x sin x dx = -x cos x + sin x

Substitusikan kembali hasil ini ke persamaan awal:
∫(x^2+1) cos x dx = (x^2+1) sin x - 2 (-x cos x + sin x)
∫(x^2+1) cos x dx = (x^2+1) sin x + 2x cos x - 2 sin x
∫(x^2+1) cos x dx = x^2 sin x + sin x + 2x cos x - 2 sin x
∫(x^2+1) cos x dx = x^2 sin x - sin x + 2x cos x + C
∫(x^2+1) cos x dx = (x^2 - 1) sin x + 2x cos x + C

Jadi, hasil integralnya adalah (x^2 - 1) sin x + 2x cos x + C.