Daerah yang dibatasi oleh kurva x=4-y dan sumbu X pada

39π

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan perhitungan volume benda putar menggunakan metode cakram atau kulit tabung. Kita perlu mencari volume benda yang dihasilkan ketika daerah yang dibatasi oleh kurva x = 4 - y dan sumbu X pada interval -1 ≤ x ≤ 2 diputar mengelilingi sumbu X.

Langkah-langkah penyelesaian:
1.  **Ubah Persamaan Kurva ke Bentuk y = f(x):**
    Diberikan x = 4 - y. Maka, y = 4 - x.

2.  **Tentukan Batas Integrasi:**
    Batas interval yang diberikan adalah -1 ≤ x ≤ 2.

3.  **Gunakan Metode Cakram (Disk Method):**
    Karena diputar mengelilingi sumbu X, volume benda putar dihitung menggunakan integral:
V = π ∫[a, b] (y)² dx

    Dalam kasus ini, y = 4 - x, dan batas integrasi adalah dari -1 hingga 2.

4.  **Hitung Integral:**
V = π ∫[-1, 2] (4 - x)² dx

    Pertama, kita ekspansi (4 - x)²:
    (4 - x)² = 16 - 8x + x²

    Sekarang, kita integralkan ekspresi ini:
    ∫ (16 - 8x + x²) dx = 16x - (8x²/2) + (x³/3) = 16x - 4x² + (x³/3)

    Selanjutnya, kita evaluasi integral tentu dari -1 hingga 2:
    [16x - 4x² + (x³/3)] dari -1 hingga 2

    Evaluasi di x = 2:
    16(2) - 4(2)² + (2³/3) = 32 - 4(4) + (8/3) = 32 - 16 + 8/3 = 16 + 8/3

    Evaluasi di x = -1:
    16(-1) - 4(-1)² + ((-1)³/3) = -16 - 4(1) + (-1/3) = -16 - 4 - 1/3 = -20 - 1/3

    Kurangkan hasil evaluasi di -1 dari hasil evaluasi di 2:
    (16 + 8/3) - (-20 - 1/3)
    = 16 + 8/3 + 20 + 1/3
    = (16 + 20) + (8/3 + 1/3)
    = 36 + 9/3
    = 36 + 3
    = 39

5.  **Kalikan dengan π:**
V = π * 39 = 39π

Maka, volume benda putar yang terjadi adalah 39π satuan kubik.