Dalam sebuah pesta, 12 puteri diantaranya A,B, dan C

Ada 1680 cara agar A, B, dan C berada pada kelompok yang berbeda.

Pembahasan

Jumlah total puteri adalah 12.
Mereka dikelompokkan menjadi 3 kelompok yang sama, yang berarti setiap kelompok terdiri dari 12 / 3 = 4 puteri.

Kita ingin mencari berapa banyak cara agar A, B, dan C berada pada kelompok yang berbeda.

Langkah 1: Tempatkan A.
Puteri A dapat ditempatkan di kelompok mana saja. Ada 3 kelompok yang tersedia.

Langkah 2: Tempatkan B.
Karena B harus berada di kelompok yang berbeda dari A, maka hanya ada 2 kelompok tersisa untuk B.

Langkah 3: Tempatkan C.
Karena C harus berada di kelompok yang berbeda dari A dan B, maka hanya ada 1 kelompok tersisa untuk C.

Jumlah cara menempatkan A, B, dan C di kelompok yang berbeda adalah hasil perkalian jumlah pilihan di setiap langkah: 3 * 2 * 1 = 6 cara.

Namun, ini belum memperhitungkan bagaimana anggota lain dalam kelompok tersebut dipilih. Pendekatan yang lebih tepat adalah sebagai berikut:

1.  **Pilih kelompok untuk A:** A bisa masuk ke salah satu dari 3 kelompok. (3 pilihan)
2.  **Pilih kelompok untuk B:** B harus berbeda dari A, jadi B bisa masuk ke salah satu dari 2 kelompok yang tersisa. (2 pilihan)
3.  **Pilih kelompok untuk C:** C harus berbeda dari A dan B, jadi C bisa masuk ke 1 kelompok yang tersisa. (1 pilihan)

Jumlah cara menempatkan A, B, C ke dalam 3 kelompok berbeda adalah 3 * 2 * 1 = 6 cara.

Sekarang, kita perlu mempertimbangkan penempatan anggota lain. Jika kita hanya fokus pada penempatan A, B, C ke dalam kelompok yang berbeda, jawabannya adalah 6. Namun, soal ini biasanya mengacu pada pembentukan kelompok secara keseluruhan.

Mari kita pikirkan cara membentuk ketiga kelompok tersebut terlebih dahulu, lalu menempatkan A, B, C.

Cara membagi 12 orang menjadi 3 kelompok yang masing-masing 4 orang adalah:
(C(12, 4) * C(8, 4) * C(4, 4)) / 3!
C(12, 4) = 12! / (4! * 8!) = (12*11*10*9) / (4*3*2*1) = 495
C(8, 4) = 8! / (4! * 4!) = (8*7*6*5) / (4*3*2*1) = 70
C(4, 4) = 1

Jumlah cara membentuk kelompok = (495 * 70 * 1) / 6 = 34650 / 6 = 5775 cara.

Sekarang, mari kita hitung cara di mana A, B, dan C berada pada kelompok yang berbeda.

1.  **Pilih 4 orang untuk kelompok pertama:** Kita harus memastikan A, B, C tidak semuanya di kelompok ini. Cara termudah adalah dengan pendekatan langsung penempatan A, B, C.

**Pendekatan yang lebih mudah:**
Bayangkan kita sudah memiliki 3 kelompok kosong yang akan diisi masing-masing dengan 4 orang.

*   **Tempatkan A:** A bisa memilih salah satu dari 3 kelompok. (3 pilihan)
*   **Tempatkan B:** B harus di kelompok yang berbeda dari A. Ada 2 kelompok tersisa. (2 pilihan)
*   **Tempatkan C:** C harus di kelompok yang berbeda dari A dan B. Ada 1 kelompok tersisa. (1 pilihan)

Jumlah cara menempatkan A, B, dan C pada kelompok yang berbeda adalah 3 * 2 * 1 = 6.

Sekarang, setelah A, B, dan C ditempatkan di kelompok yang berbeda, kita perlu mengisi sisa tempat di setiap kelompok.

*   Kelompok A: Perlu 3 orang lagi dari 9 sisa puteri. Cara memilihnya adalah C(9, 3).
*   Kelompok B: Perlu 3 orang lagi dari 6 sisa puteri. Cara memilihnya adalah C(6, 3).
*   Kelompok C: Perlu 3 orang lagi dari 3 sisa puteri. Cara memilihnya adalah C(3, 3).

C(9, 3) = 9! / (3! * 6!) = (9*8*7) / (3*2*1) = 84
C(6, 3) = 6! / (3! * 3!) = (6*5*4) / (3*2*1) = 20
C(3, 3) = 1

Jumlah cara mengisi sisa anggota setelah A, B, C ditempatkan di kelompok berbeda = 84 * 20 * 1 = 1680.

Karena ada 6 cara untuk menempatkan A, B, C di kelompok yang berbeda, maka total cara adalah:
6 * 1680 = 10080.

Namun, perlu diingat bahwa urutan kelompok tidak penting. Pendekatan ini secara implisit menganggap kelompok-kelompok tersebut berbeda.

Mari kita gunakan cara yang lebih langsung terkait pembagian kelompok.

1.  **Pilih 3 orang untuk menemani A di kelompoknya:** Dari 9 puteri yang tersisa (selain A, B, C), pilih 3 orang. C(9, 3) = 84 cara.
2.  **Pilih 3 orang untuk menemani B di kelompoknya:** Dari 6 puteri yang tersisa, pilih 3 orang. C(6, 3) = 20 cara.
3.  **Pilih 3 orang untuk menemani C di kelompoknya:** Dari 3 puteri yang tersisa, pilih 3 orang. C(3, 3) = 1 cara.

Jumlah cara = C(9, 3) * C(6, 3) * C(3, 3) = 84 * 20 * 1 = 1680.

Dalam cara ini, kita secara otomatis memastikan A, B, dan C berada di kelompok yang berbeda karena kita memilih anggota untuk masing-masing kelompok tempat A, B, dan C berada.

Jadi, ada 1680 cara agar A, B, dan C berada pada kelompok yang berbeda.