Dalam sebuah ujian Matematika, diperoleh ratarata 75,

a. k ≈ 65,82; b. Sekitar 3 siswa

Pembahasan

Diketahui rata-rata (mean) = 75, simpangan baku (standard deviation) = 6. Nilai ujian matematika berdistribusi normal.

a. Peluang memperoleh nilai kurang dari k adalah 6,3% atau 0,063.
Kita gunakan tabel distribusi normal standar (z-table) untuk mencari nilai z yang sesuai dengan peluang kumulatif 0,063. Dari tabel, nilai z yang mendekati 0,063 adalah -1,53.
Rumus standarisasi adalah z = (x - mean) / standard deviation.
Dalam kasus ini, z = -1,53, x = k, mean = 75, dan standard deviation = 6.
Maka, -1,53 = (k - 75) / 6.
-1,53 * 6 = k - 75
-9,18 = k - 75
k = 75 - 9,18
k = 65,82
Jadi, nilai k adalah sekitar 65,82.

b. Dari 500 siswa, berapa banyak yang memperoleh nilai lebih dari 90?
Kita perlu mencari peluang P(X > 90) terlebih dahulu.
Standarisasi nilai 90: z = (90 - 75) / 6 = 15 / 6 = 2,5.
Kita cari peluang P(Z > 2,5). Dari tabel distribusi normal standar, P(Z < 2,5) adalah 0,9938.
Maka, P(Z > 2,5) = 1 - P(Z < 2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062.

Jumlah siswa yang memperoleh nilai lebih dari 90 = P(X > 90) * Total siswa
= 0,0062 * 500
= 3,1
Karena jumlah siswa harus bilangan bulat, maka sekitar 3 siswa memperoleh nilai lebih dari 90.