Selesaikan pertidaksamaan pecahan berikut dan gambarlah

x ≤ -2/3 atau x > 3

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan pecahan (3x+2)/(x-3) ≥ 0 dan menggambar penyelesaiannya pada garis bilangan, dengan x ∈ R.

Langkah 1: Cari nilai-nilai x yang membuat pembilang dan penyebut sama dengan nol.

Pembilang: 3x + 2 = 0  =>  3x = -2  =>  x = -2/3
Penyebut: x - 3 = 0  =>  x = 3

Nilai-nilai ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: x < -2/3, -2/3 < x < 3, dan x > 3.

Langkah 2: Uji tanda di setiap interval.

Interval 1: x < -2/3 (misalnya, x = -1)
(3(-1)+2)/(-1-3) = (-3+2)/(-4) = -1/-4 = 1/4 (Positif)

Interval 2: -2/3 < x < 3 (misalnya, x = 0)
(3(0)+2)/(0-3) = (2)/(-3) = -2/3 (Negatif)

Interval 3: x > 3 (misalnya, x = 4)
(3(4)+2)/(4-3) = (12+2)/(1) = 14/1 = 14 (Positif)

Langkah 3: Tentukan daerah penyelesaian.

Pertidaksamaan adalah (3x+2)/(x-3) ≥ 0. Kita mencari interval di mana hasilnya positif atau nol.

Hasilnya positif pada interval x < -2/3 dan x > 3.

Karena pertidaksamaan mencakup 'sama dengan' (≥), kita perlu memeriksa apakah nilai pembilang yang membuat hasilnya nol termasuk dalam penyelesaian. Nilai x = -2/3 membuat pembilang nol, sehingga (3(-2/3)+2)/(-2/3-3) = 0/(-11/3) = 0. Jadi, x = -2/3 adalah bagian dari penyelesaian.

Nilai x = 3 membuat penyebut nol, yang berarti pecahan tidak terdefinisi. Oleh karena itu, x = 3 tidak termasuk dalam penyelesaian.

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ -2/3 atau x > 3.

Langkah 4: Gambarkan pada garis bilangan.

Garis bilangan akan memiliki titik bulatan kosong pada x = 3 (karena tidak termasuk) dan titik bulatan terisi pada x = -2/3 (karena termasuk). Daerah yang diarsir adalah di sebelah kiri -2/3 dan di sebelah kanan 3.