Dalam suatu barisan geometri,U1+U3=p dan U2+ U4=q, maka U4=

$U_4 = \frac{q^3}{p^2 + q^2}$

Pembahasan

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku-suku $U_n$. Diberikan hubungan:
$U_1 + U_3 = p$
$U_2 + U_4 = q$

Dalam barisan geometri, berlaku $U_n = a 	imes r^{n-1}$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.

Mengganti rumus suku ke-n ke dalam persamaan yang diberikan:
$a + a 	imes r^2 = p 	 	 	 	 (1)$
$a 	imes r + a 	imes r^3 = q 	 	 	 (2)$

Dari persamaan (1), kita bisa faktorkan $a(1 + r^2) = p$.
Dari persamaan (2), kita bisa faktorkan $a 	imes r (1 + r^2) = q$.

Sekarang, kita bisa membagi persamaan (2) dengan persamaan (1):
$\frac{a 	imes r (1 + r^2)}{a(1 + r^2)} = \frac{q}{p}$
$r = \frac{q}{p}$

Setelah mendapatkan nilai rasio $r$, kita perlu mencari $U_4$. Rumus $U_4$ adalah $a 	imes r^3$.
Kita tahu bahwa $U_2 + U_4 = q$. Kita juga bisa menulis $U_2 = a 	imes r$ dan $U_4 = a 	imes r^3$.
Jadi, $a 	imes r + a 	imes r^3 = q$.
Faktorkan $a 	imes r$: $a 	imes r (1 + r^2) = q$.
Kita tahu bahwa $a(1 + r^2) = p$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$(a(1 + r^2)) 	imes r = q$
$p 	imes r = q$

Ini hanya mengkonfirmasi bahwa $r = q/p$. Sekarang kita perlu mengekspresikan $U_4$ dalam $p$ dan $q$.

Kita bisa menulis $U_4$ sebagai $U_2 	imes r^2$.
Dari $U_2 + U_4 = q$, kita punya $U_2 = q - U_4$.
Substitusikan ke dalam $U_4 = U_2 	imes r^2$:
$U_4 = (q - U_4) 	imes r^2$
$U_4 = q 	imes r^2 - U_4 	imes r^2$
$U_4 + U_4 	imes r^2 = q 	imes r^2$
$U_4 (1 + r^2) = q 	imes r^2$
$U_4 = \frac{q \times r^2}{1 + r^2}$

Ganti $r = q/p$:
$U_4 = \frac{q \times (q/p)^2}{1 + (q/p)^2}$
$U_4 = \frac{q \times (q^2/p^2)}{1 + q^2/p^2}$
$U_4 = \frac{q^3/p^2}{(p^2 + q^2)/p^2}$
$U_4 = \frac{q^3}{p^2 + q^2}$