Panjang setiap rusuk bidang empat beraturan TABC sama

Panjang PQ adalah $8\sqrt{2}$ cm.

Pembahasan

Ini adalah soal geometri ruang yang berkaitan dengan bidang empat beraturan (limas segitiga). Diketahui panjang setiap rusuk bidang empat beraturan TABC adalah 16 cm. P adalah pertengahan rusuk AT, dan Q adalah pertengahan rusuk BC.

Kita perlu mencari panjang PQ.

Langkah 1: Visualisasikan bidang empat beraturan.
Bidang empat beraturan memiliki empat sisi berupa segitiga sama sisi. Dalam kasus ini, semua rusuknya sama panjang, yaitu 16 cm.

Langkah 2: Tentukan koordinat titik-titik jika diperlukan, atau gunakan sifat-sifat geometri.
Cara yang lebih mudah adalah menggunakan sifat-sifat geometri.

Karena TABC adalah bidang empat beraturan dengan rusuk 16 cm, maka segitiga TBC, ABC, TAB, dan TAC adalah segitiga sama sisi dengan sisi 16 cm.

P adalah pertengahan AT. Panjang AP = PT = 16/2 = 8 cm.
Q adalah pertengahan BC.

Pertimbangkan segitiga ABC. Karena merupakan segitiga sama sisi, garis dari A ke pertengahan BC (yaitu Q) adalah garis tinggi dan juga median.
Panjang AQ = $\sqrt{AB^2 - BQ^2}$.
$BQ = QC = 16/2 = 8$ cm.
$AQ = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = \sqrt{64 	imes 3} = 8\sqrt{3}$ cm.

Demikian pula, dalam segitiga TBC, garis dari T ke pertengahan BC (yaitu Q) adalah garis tinggi.
Panjang TQ = $\sqrt{TB^2 - BQ^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = 8\sqrt{3}$ cm.

Sekarang kita memiliki segitiga TQA. Sisi-sisinya adalah:
AT = 16 cm
AQ = $8\sqrt{3}$ cm
TQ = $8\sqrt{3}$ cm

P adalah pertengahan AT. Jadi, PQ adalah garis yang menghubungkan pertengahan sisi AT ke titik Q dalam segitiga TQA.

Dalam segitiga TQA, PQ adalah garis berat dari titik Q ke sisi AT (karena P adalah pertengahan AT). Namun, ini bukan garis berat dalam arti biasa karena P bukan pertengahan sisi segitiga yang dibentuk oleh titik sudut.

Mari kita gunakan teorema Apollonius atau sifat garis berat pada segitiga.
Perhatikan segitiga ATQ. P adalah pertengahan AT. Kita ingin mencari panjang PQ.
Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga TQA untuk mencari sudut antara AT dan TQ, misalnya sudut $\angle ATQ$, atau sudut $\angle TAQ$.

Karena segitiga TAB dan TAC adalah segitiga sama sisi, sudut $\angle TAB = \angle TAC = 60^\circ$.

Mari kita gunakan pendekatan lain: Gunakan koordinat.
Misalkan B = (0, 0, 0).
Karena BC = 16, kita bisa letakkan C = (16, 0, 0).
Karena Q adalah pertengahan BC, Q = (8, 0, 0).

Untuk mencari koordinat A dan T, kita perlu menempatkan titik-titik ini dalam ruang.
Misalkan bidang ABC berada pada bidang xy.
A = $(8, 8\sqrt{3}, 0)$ (karena ABC adalah segitiga sama sisi dengan sisi 16).
AT = 16.

Sekarang kita perlu mencari koordinat T. T berada di atas pusat segitiga ABC atau pada posisi lain yang menjaga jarak 16 cm ke A, B, C.
Bidang empat beraturan berarti semua sisi adalah segitiga sama sisi. Jadi, segitiga ABC dan TBC, TAB, TAC adalah sama sisi.

Alternatif: Gunakan sifat simetri atau proyeksi.
Karena Q adalah pertengahan BC, dan segitiga ATQ dibentuk oleh titik A, T, dan Q, kita bisa mencari panjang PQ.

Perhatikan segitiga TQA. TQ = $8\sqrt{3}$ (tinggi segitiga sama sisi TBC).
AQ = $8\sqrt{3}$ (tinggi segitiga sama sisi ABC).
AT = 16.
P adalah pertengahan AT. AP = PT = 8.

Dalam segitiga TQA, PQ adalah garis yang menghubungkan P (pertengahan AT) ke Q.
Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga PQT atau PQA.

Misalkan kita cari sudut $\angle ATQ$. Segitiga TBC sama sisi, Q pertengahan BC, maka TQ tegak lurus BC. Panjang TQ = $8\sqrt{3}$.
Misalkan kita cari sudut $\angle ATB = 60^\circ$ dan $\angle ATC = 60^\circ$.

Cara termudah adalah menggunakan vektor.
Misalkan A sebagai titik asal (0,0,0).
$AT = 16$. P adalah pertengahan AT, jadi $\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{AT}$. Panjang AP = 8.

Jika kita letakkan titik-titik:
Misalkan pusat alas segitiga ABC adalah O.
Misalkan B = $(8, 0, 0)$, C = $(-8, 0, 0)$. Maka BC = 16, dan Q = (0, 0, 0).
Segitiga ABC sama sisi, dengan sisi 16.
Koordinat titik A bisa $(0, 8\sqrt{3}, 0)$. Jarak AB = $\sqrt{8^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 192} = \sqrt{256} = 16$. Jarak AC = $\sqrt{(-8)^2 + (8\sqrt{3})^2} = 16$. Jarak BC = 16.

Sekarang untuk titik T. T juga berjarak 16 dari A, B, C.
Karena TABC adalah bidang empat beraturan, T berada di atas titik yang sama dengan proyeksi A ke BC, atau pusat segitiga ABC. Tapi ini tidak selalu benar, hanya jika alasnya datar.
Karena semua rusuk sama, maka tetrahedronnya beraturan.

Pusat tetrahedron beraturan terletak pada $\frac{1}{4}$ tinggi dari alas.

Kembali ke segitiga TQA:
AT = 16
AQ = $8\sqrt{3}$
TQ = $8\sqrt{3}$
P adalah pertengahan AT.

Kita dapat menggunakan rumus panjang garis berat pada segitiga TQA, namun PQ bukan garis berat. PQ menghubungkan titik Q ke pertengahan sisi AT.

Ini adalah sifat dari segitiga TQA. PQ adalah garis yang menghubungkan titik sudut Q ke titik tengah sisi AT. Dalam segitiga, jika Anda memiliki segitiga XYZ dan M adalah pertengahan XY, maka ZM adalah garis median.
Dalam segitiga TQA, P adalah pertengahan AT. Jadi, PQ adalah garis yang menghubungkan Q ke pertengahan AT.

Kita dapat menggunakan rumus panjang garis bagi jika AT adalah sisi, tetapi P adalah pertengahan sisi AT.

Perhatikan segitiga TQA. Gunakan aturan kosinus untuk mencari PQ.
Kita perlu salah satu sudut. Mari cari $\angle TAQ$.
Dalam segitiga ABC, AQ adalah garis tinggi dan median. $\angle BAQ = 30^\circ$. $\angle CAQ = 30^\circ$.
Sudut antara dua sisi segitiga sama sisi adalah 60 derajat.

Mari kita cari sudut $\angle TAQ$. Segitiga ATC sama sisi, maka $\angle TAC = 60^\circ$. Segitiga ABC sama sisi, maka $\angle BAC = 60^\circ$.

Perhatikan segitiga ATQ. Sisi-sisinya adalah $AT=16$, $AQ=8\sqrt{3}$, $TQ=8\sqrt{3}$.
Ini adalah segitiga sama kaki dengan $AQ=TQ$.
P adalah pertengahan AT.
Dalam segitiga sama kaki, garis dari puncak ke pertengahan alas adalah tegak lurus alas.
Namun, AT adalah alas di sini, dan Q adalah puncak.

Jika kita memproyeksikan T ke bidang ABC, proyeksinya adalah pusat segitiga ABC. Tapi ini jika T tepat di atas pusat.

Karena ini bidang empat beraturan, semua sudut antar muka adalah $60^\circ$.
Sudut antara dua rusuk yang bertemu di satu titik adalah 60 derajat.

Misalkan kita letakkan A pada titik (0, 0, 0).
AT sepanjang sumbu z, T = (0, 0, 16). P = (0, 0, 8).

Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, rusuk 16. Titik B dan C harus berjarak 16 dari A dan satu sama lain.
B = $(16 	imes rac{\sqrt{3}}{2}, 16 	imes rac{1}{2}, 0) = (8\sqrt{3}, 8, 0)$
C = $(16 	imes rac{\sqrt{3}}{2}, -16 	imes rac{1}{2}, 0) = (8\sqrt{3}, -8, 0)$

Jarak BC = $\sqrt{(8\sqrt{3}-8\sqrt{3})^2 + (8 - (-8))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{0 + 16^2 + 0} = 16$.

Sekarang kita perlu memeriksa jarak TB dan TC.
$TB = \sqrt{(8\sqrt{3}-0)^2 + (8-0)^2 + (0-16)^2} = \sqrt{192 + 64 + 256} = \sqrt{512} = 16\sqrt{2}$. Ini salah.

Koordinat harus diatur agar semua rusuk 16.

Cara yang lebih baik: Gunakan teorema kosinus pada segitiga yang tepat.
Perhatikan segitiga TQA. Kita tahu panjang AT = 16, AQ = $8\sqrt{3}$, TQ = $8\sqrt{3}$.
P adalah pertengahan AT.

Dalam segitiga TQA, PQ adalah garis yang menghubungkan Q ke pertengahan sisi AT. Rumus median:
$PQ^2 = \frac{2(TQ^2 + QA^2) - AT^2}{4}$
$PQ^2 = \frac{2((8\sqrt{3})^2 + (8\sqrt{3})^2) - 16^2}{4}$
$PQ^2 = \frac{2(192 + 192) - 256}{4}$
$PQ^2 = \frac{2(384) - 256}{4}$
$PQ^2 = \frac{768 - 256}{4}$
$PQ^2 = \frac{512}{4}$
$PQ^2 = 128$
$PQ = \sqrt{128} = \sqrt{64 	imes 2} = 8\sqrt{2}$.

Jadi, panjang PQ adalah $8\sqrt{2}$ cm.