Dari barisan empat buah bilangan, jumlah tiga bilangan

Bilangan keempat adalah -4/3.

Pembahasan

Mari kita analisis informasi yang diberikan:

Misalkan keempat bilangan tersebut adalah a, b, c, dan d.

Diketahui bahwa ini adalah barisan aritmetika, yang berarti selisih antara dua suku yang berdekatan adalah konstan. Misalkan selisihnya adalah 'x'.
Jadi, b = a + x, c = a + 2x, dan d = a + 3x.

Informasi yang diberikan:
1.  Jumlah tiga bilangan pertama sama dengan nol:
a + b + c = 0
Substitusikan b dan c:
a + (a + x) + (a + 2x) = 0
3a + 3x = 0
a + x = 0
Ini berarti 'a = -x'.

2.  Kuadrat bilangan pertama sama dengan -2/3 kali bilangan ketiga:
a² = (-2/3) * c
Substitusikan c = a + 2x:
a² = (-2/3) * (a + 2x)

Karena kita tahu a = -x, kita bisa substitusikan kembali ke persamaan kedua:
(-x)² = (-2/3) * (-x + 2x)
x² = (-2/3) * (x)

Sekarang kita selesaikan untuk x:
x² = -2x/3
x² + 2x/3 = 0
x(x + 2/3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk x:
x = 0 atau x = -2/3.

Jika x = 0, maka a = -0 = 0. Ini akan menghasilkan barisan 0, 0, 0, 0, yang memenuhi semua kondisi. Namun, biasanya dalam soal seperti ini, kita mencari solusi yang non-trivial.

Mari kita gunakan x = -2/3:

Jika x = -2/3, maka:
a = -x = -(-2/3) = 2/3.

Sekarang kita bisa mencari keempat bilangan tersebut:
Bilangan pertama (a) = 2/3
Bilangan kedua (b) = a + x = 2/3 + (-2/3) = 0
Bilangan ketiga (c) = a + 2x = 2/3 + 2*(-2/3) = 2/3 - 4/3 = -2/3
Bilangan keempat (d) = a + 3x = 2/3 + 3*(-2/3) = 2/3 - 6/3 = 2/3 - 2 = 2/3 - 6/3 = -4/3

Mari kita periksa kondisi:
1.  Jumlah tiga bilangan pertama: a + b + c = 2/3 + 0 + (-2/3) = 0 (Benar).
2.  Kuadrat bilangan pertama sama dengan -2/3 kali bilangan ketiga: a² = (2/3)² = 4/9. Dan (-2/3) * c = (-2/3) * (-2/3) = 4/9 (Benar).
3.  Setiap dua bilangan yang berdekatan sama selisihnya: Selisihnya adalah x = -2/3 (Benar).

Jadi, bilangan keempat adalah -4/3.