Tentukan nilai x agar biimplikasi berikut bernilai benar,a.

a. -3 < x < 5. b. x bilangan asli ≤ 4 atau x bukan bilangan asli.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x agar biimplikasi bernilai benar, kita perlu menganalisis kedua pernyataan dalam setiap sub-soal.

Sebuah biimplikasi (p ↔ q) bernilai benar jika kedua pernyataan (p dan q) memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar atau keduanya salah).

**a. x² - 2x - 15 < 0 jika dan hanya jika Bandung ibu kota provinsi Jawa Barat.**

*   **Pernyataan q:** "Bandung ibu kota provinsi Jawa Barat." Pernyataan ini adalah **BENAR**.
*   Agar biimplikasi bernilai benar, pernyataan "x² - 2x - 15 < 0" (pernyataan p) juga harus **BENAR**.

Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat:
x² - 2x - 15 < 0
Faktorkan kuadratnya:
(x - 5)(x + 3) < 0

Titik kritis adalah x = 5 dan x = -3. Kita uji interval:
*   Untuk x < -3 (misal x = -4): (-4 - 5)(-4 + 3) = (-9)(-1) = 9 (Positif, > 0)
*   Untuk -3 < x < 5 (misal x = 0): (0 - 5)(0 + 3) = (-5)(3) = -15 (Negatif, < 0)
*   Untuk x > 5 (misal x = 6): (6 - 5)(6 + 3) = (1)(9) = 9 (Positif, > 0)

Jadi, pertidaksamaan x² - 2x - 15 < 0 bernilai benar ketika -3 < x < 5.

**Kesimpulan untuk a:** Nilai x agar biimplikasi bernilai benar adalah semua nilai x yang memenuhi -3 < x < 5.

**b. Akar(7) merupakan bilangan rasional jika dan hanya jika x bilangan asli lebih dari 4.**

*   **Pernyataan p:** "Akar(7) merupakan bilangan rasional." Akar dari 7 tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, sehingga √7 adalah bilangan irasional. Pernyataan ini adalah **SALAH**.
*   Agar biimplikasi bernilai benar, pernyataan "x bilangan asli lebih dari 4" (pernyataan q) juga harus **SALAH**.

Pernyataan "x bilangan asli lebih dari 4" berarti x ∈ {5, 6, 7, ...}.
Agar pernyataan ini SALAH, maka x TIDAK BOLEH merupakan bilangan asli yang lebih dari 4. Dengan kata lain, x boleh berupa bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 4, atau x bisa bukan bilangan asli sama sekali.

Dalam konteks soal matematika yang biasanya mengacu pada himpunan bilangan asli (natural numbers) ketika berbicara tentang 'bilangan asli', maka nilai x yang membuat pernyataan q salah adalah x ∈ {1, 2, 3, 4}.

**Kesimpulan untuk b:** Nilai x agar biimplikasi bernilai benar adalah x adalah bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 4 (x ∈ {1, 2, 3, 4}), atau x bukan bilangan asli.