Dari fungsi g: R -> R ditentukan g(x)=x^2+x+2 dan f: R -> R

f(x) = 2x + 1

Pembahasan

Untuk mencari fungsi f(x) dari komposisi fungsi (fog)(x) dan g(x), kita perlu memahami definisi dari komposisi fungsi. (fog)(x) berarti f(g(x)).

Diketahui:
g(x) = x² + x + 2
(fog)(x) = 2x² + 2x + 5

Kita perlu mencari f(x). Kita tahu bahwa f(g(x)) = 2x² + 2x + 5.

Perhatikan bahwa bagian dari ekspresi (fog)(x) mirip dengan g(x). Mari kita coba memanipulasi g(x) untuk melihat hubungannya dengan (fog)(x).

Kita memiliki g(x) = x² + x + 2.
Kita ingin mencari f(y), di mana y = g(x) = x² + x + 2.

Mari kita coba ekspresikan (fog)(x) dalam bentuk yang melibatkan g(x):
(fog)(x) = 2x² + 2x + 5
(fog)(x) = 2(x² + x) + 5

Perhatikan bahwa x² + x = g(x) - 2.
Substitusikan (g(x) - 2) untuk (x² + x) dalam persamaan (fog)(x):

(fog)(x) = 2(g(x) - 2) + 5
(fog)(x) = 2g(x) - 4 + 5
(fog)(x) = 2g(x) + 1

Karena (fog)(x) = f(g(x)), maka kita dapat menyimpulkan bahwa:
f(g(x)) = 2g(x) + 1

Jika kita misalkan y = g(x), maka persamaan di atas menjadi:
f(y) = 2y + 1

Jadi, fungsi f(x) adalah f(x) = 2x + 1.

Untuk memverifikasi, mari kita hitung (fog)(x) menggunakan f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² + x + 2:
(fog)(x) = f(g(x)) = f(x² + x + 2)
(fog)(x) = 2(x² + x + 2) + 1
(fog)(x) = 2x² + 2x + 4 + 1
(fog)(x) = 2x² + 2x + 5

Hasil ini sesuai dengan yang diberikan, sehingga f(x) = 2x + 1 adalah benar.