Dari suatu titik pada bukit, tampak ujung-ujung suatu

Panjang landasan pacu adalah 2262 m.

Pembahasan

Misalkan panjang landasan pacu adalah p meter. Misalkan jarak ujung landasan yang lebih jauh dari titik pengamatan adalah x meter. Maka, jarak ujung landasan yang lebih dekat adalah (x-870) meter.
Dari informasi sudut depresi, kita dapat membentuk dua persamaan:
1. tan 53 = h / (x - 870)
2. tan 14 = h / x
Di mana h adalah tinggi bukit.
Kita tahu bahwa tan 53 ≈ 1,33 dan tan 14 ≈ 0,25.
Dari persamaan kedua, kita dapat menyatakan h sebagai: h = x * tan 14 = 0,25x.
Substitusikan nilai h ke dalam persamaan pertama:
1,33 = (0,25x) / (x - 870)
1,33(x - 870) = 0,25x
1,33x - 1157,1 = 0,25x
1,33x - 0,25x = 1157,1
1,08x = 1157,1
x = 1157,1 / 1,08
x ≈ 1071,4 meter
Sekarang kita bisa mencari panjang landasan pacu (p) dengan p = x - (x - 870) = 870 meter. Namun, soal menanyakan panjang landasan pacu. Mari kita periksa kembali hubungan sudut dan jarak.
Misalkan ujung landasan yang lebih dekat adalah B, dan ujung yang lebih jauh adalah C. Titik pengamatan di bukit adalah A. Maka AB = 870 m. Jarak landasan pacu adalah BC.
Sudut depresi ke B adalah 53, sehingga sudut elevasi dari B ke T (puncak bukit) adalah 90 - 53 = 37 derajat. Sudut depresi ke C adalah 14, sehingga sudut elevasi dari C ke T adalah 90 - 14 = 76 derajat.
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh titik pengamatan, puncak bukit, dan titik di horizontal yang sejajar dengan titik pengamatan, kita punya:
Misalkan tinggi bukit adalah h.
Jarak horizontal ke ujung yang lebih dekat (d1) dan ujung yang lebih jauh (d2).
Dari titik pengamatan, sudut elevasi ke ujung yang lebih dekat adalah 90 - 53 = 37 derajat. Sudut elevasi ke ujung yang lebih jauh adalah 90 - 14 = 76 derajat.
Kita memiliki segitiga yang dibentuk oleh titik pengamatan (P), ujung landasan yang lebih dekat (A), dan ujung landasan yang lebih jauh (B). Jarak PA = 870 m. Sudut PAB = 180 - (sudut depresi ke A) = 180 - 53 = 127 derajat.
Ini bukan cara yang tepat. Mari gunakan trigonometri pada segitiga yang dibentuk oleh titik pengamatan, puncak bukit, dan kedua ujung landasan.
Misalkan P adalah titik pengamatan, T adalah puncak bukit, dan H adalah titik di horizontal tepat di bawah P. Misalkan A dan B adalah ujung landasan pacu, dengan A lebih dekat ke P. Jarak PA = 870 m. Sudut depresi dari P ke A adalah 53°, dari P ke B adalah 14°.
Ini mengimplikasikan bahwa P berada di atas landasan. Soal mengatakan "Dari suatu titik pada bukit, tampak ujung-ujung suatu landasan pacu bandara yang sedang dibangun horizontal". Ini berarti titik pengamatan berada di atas landasan.
Mari kita asumsikan titik pengamatan berada di puncak bukit. Sudut depresi ke ujung yang lebih dekat adalah 53°, dan ke ujung yang lebih jauh adalah 14°. Jarak ujung yang lebih dekat adalah 870 m.
Misalkan P adalah titik pengamatan, A adalah ujung landasan yang lebih dekat, B adalah ujung landasan yang lebih jauh. Jarak PA = 870 m. Sudut depresi dari P ke A adalah 53°, sudut depresi dari P ke B adalah 14°.
Ini berarti sudut elevasi dari A ke P adalah 90 - 53 = 37°. Sudut elevasi dari B ke P adalah 90 - 14 = 76°.
Misalkan jarak horizontal dari titik di bawah P ke A adalah x, dan jarak horizontal dari titik di bawah P ke B adalah y. Tinggi P di atas horizontal adalah h.
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh P, titik di bawah P, dan A:
tan(37°) = h / x => x = h / tan(37°)
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh P, titik di bawah P, dan B:
tan(76°) = h / y => y = h / tan(76°)
Panjang landasan pacu adalah jarak horizontal antara A dan B, yaitu |y - x|.
Namun, kita punya informasi jarak lereng bukit = 870 m. Ini adalah jarak dari titik pengamatan ke ujung yang lebih dekat. Misalkan titik pengamatan adalah P, dan ujung landasan adalah A dan B. PA = 870 m. Sudut depresi ke A adalah 53°, ke B adalah 14°.
Ini berarti sudut antara garis pandang ke A dan horizontal adalah 53°. Sudut antara garis pandang ke B dan horizontal adalah 14°.
Misalkan h adalah tinggi vertikal dari P ke bidang horizontal landasan pacu. Misalkan d adalah jarak horizontal dari titik di bawah P ke A.
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh P, titik di bawah P, dan A:
sin(53°) = h / PA => h = PA * sin(53°) = 870 * 0,80 = 696 m.
cos(53°) = d / PA => d = PA * cos(53°) = 870 * sin(37°) = 870 * 0,60 = 522 m.
Sekarang kita punya tinggi h = 696 m. Kita perlu mencari jarak horizontal ke ujung yang lebih jauh (B). Misalkan jarak horizontal dari titik di bawah P ke B adalah d_B.
Sudut depresi ke B adalah 14°. Misalkan jarak PB = L.
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh P, titik di bawah P, dan B:
sin(14°) = h / PB => PB = h / sin(14°) = 696 / 0,27 = 2577,8 m (sin 14 ≈ 0.2419)
cos(14°) = d_B / PB => d_B = PB * cos(14°) = 2577,8 * 0,97 = 2490,5 m.
Panjang landasan pacu adalah selisih jarak horizontal: |d_B - d| = |2490,5 - 522| = 1968,5 m.
Mari kita gunakan informasi tan 14 = 0,25.
h = d * tan(53°) = d * 1,33
Misalkan jarak landasan pacu adalah p. Maka jarak dari titik pengamatan ke ujung yang jauh adalah d+p.
Kita punya:
h = d * tan(53°)
h = (d+p) * tan(14°)
Jadi, d * tan(53°) = (d+p) * tan(14°)
d * 1,33 = (d+p) * 0,25
1,33d = 0,25d + 0,25p
1,08d = 0,25p
d = 0,25p / 1,08
Ini tidak menggunakan jarak 870 m dengan benar.
Mari kita gambar ulang situasinya. Titik P di bukit. Landasan pacu AB horizontal. A lebih dekat ke P. Sudut depresi dari P ke A adalah 53°. Sudut depresi dari P ke B adalah 14°. Jarak PA = 870 m.
Misalkan h adalah ketinggian P di atas landasan. Misalkan d_A adalah jarak horizontal dari titik di bawah P ke A. Misalkan d_B adalah jarak horizontal dari titik di bawah P ke B.
Dalam segitiga siku-siku P-titik_bawah-A:
tan(53°) = h / d_A => d_A = h / tan(53°)
sin(53°) = h / PA => h = PA * sin(53°) = 870 * 0,80 = 696 m.
cos(53°) = d_A / PA => d_A = PA * cos(53°) = 870 * 0,60 = 522 m.
Dalam segitiga siku-siku P-titik_bawah-B:
tan(14°) = h / d_B => d_B = h / tan(14°) = 696 / 0,25 = 2784 m.
Panjang landasan pacu adalah selisih jarak horizontal dari titik di bawah P ke B dan ke A, karena A dan B berada pada garis lurus dari M (titik di bawah P, bagian dari landasan). Jadi, panjang landasan pacu = d_B - d_A = 2784 - 522 = 2262 m.
Jika sin 53 = 0,80, maka cos 53 = sqrt(1 - 0.80^2) = sqrt(1 - 0.64) = sqrt(0.36) = 0.60.
Jika tan 14 = 0,25.
Jadi, panjang landasan pacu adalah 2262 m.