Data pertumbuhan penduduk dunia yang diberikan oleh lembaga

a. Tingkat perubahan populasi adalah $p'(t) = -0.012t^2 + 48t - 47.925$ juta orang/tahun. b. Pada t=2000, tingkat perubahan adalah 75 juta orang/tahun. Pada t=2007, tingkat perubahan adalah sekitar 48.074.087 juta orang/tahun. c. Rata-rata tingkat perubahan antara tahun 2000 dan 2007 adalah sekitar 24.037.081 juta orang/tahun.

Pembahasan

Diberikan model pertumbuhan penduduk dunia: $p(t) = -0.004t^3 + 24t^2 - 47.925t + 31.856.000$, di mana $t$ adalah tahun dan $p(t)$ adalah jumlah penduduk dalam jutaan orang.

a. Tingkat perubahan populasi penduduk di dunia terhadap $t$
Tingkat perubahan populasi terhadap waktu adalah turunan pertama dari fungsi $p(t)$ terhadap $t$. Kita akan mencari $p'(t)$.

$p(t) = -0.004t^3 + 24t^2 - 47.925t + 31.856.000$

Menggunakan aturan turunan $d/dt(at^n) = ant^(n-1)$:
$p'(t) = d/dt(-0.004t^3) + d/dt(24t^2) - d/dt(47.925t) + d/dt(31.856.000)$
$p'(t) = (-0.004 * 3)t^(3-1) + (24 * 2)t^(2-1) - (47.925 * 1)t^(1-1) + 0$
$p'(t) = -0.012t^2 + 48t - 47.925$

Jadi, tingkat perubahan populasi penduduk di dunia terhadap $t$ adalah $p'(t) = -0.012t^2 + 48t - 47.925$ (dalam jutaan orang per tahun).

b. Tingkat perubahan populasi penduduk di dunia pada $t=2000$ dan $t=2007$
Kita substitusikan nilai $t$ ke dalam $p'(t)$.

Untuk $t = 2000$:
$p'(2000) = -0.012(2000)^2 + 48(2000) - 47.925$
$p'(2000) = -0.012(4.000.000) + 96.000 - 47.925$
$p'(2000) = -48.000 + 96.000 - 47.925$
$p'(2000) = 48.000 - 47.925$
$p'(2000) = 75$

Tingkat perubahan pada tahun 2000 adalah 75 juta orang per tahun.

Untuk $t = 2007$:
$p'(2007) = -0.012(2007)^2 + 48(2007) - 47.925$
$p'(2007) = -0.012(4.028.049) + 96.336 - 47.925$
$p'(2007) = -48.336.588 + 96.336 - 47.925$
$p'(2007) = 47.999.412 - 47.925$
$p'(2007) = 48.074.087$

Tingkat perubahan pada tahun 2007 adalah sekitar 48.074.087 juta orang per tahun.

c. Rata-rata tingkat perubahan populasi penduduk di dunia antara tahun 2000 dan 2007
Rata-rata tingkat perubahan dapat dihitung menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan, yaitu $\frac{p(b) - p(a)}{b - a}$. Namun, pertanyaan ini lebih mengarah pada rata-rata dari tingkat perubahan itu sendiri, yang dapat dihitung dengan mengintegralkan $p'(t)$ dari $t=2000$ sampai $t=2007$ dan membaginya dengan selang waktu ($2007-2000=7$). Alternatif lain yang lebih sederhana adalah merata-ratakan nilai $p'(t)$ pada awal dan akhir interval jika kita mengasumsikan perubahan yang mendekati linear dalam interval tersebut, atau jika ditanya rata-rata laju perubahan secara umum. Jika yang dimaksud adalah rata-rata laju perubahan instan selama periode tersebut, kita perlu melakukan integrasi.

Namun, jika kita diminta rata-rata nilai dari $p'(t)$ pada $t=2000$ dan $t=2007$, kita bisa menjumlahkan kedua nilai tersebut dan membaginya dua:

Rata-rata $\approx \frac{p'(2000) + p'(2007)}{2}$
Rata-rata $\approx \frac{75 + 48.074.087}{2}$
Rata-rata $\approx \frac{48.074.162}{2}$
Rata-rata $\approx 24.037.081$

Jika yang dimaksud adalah rata-rata laju perubahan sesungguhnya, kita perlu menghitung:
$\frac{1}{2007-2000} \int_{2000}^{2007} p'(t) dt = \frac{1}{7} [p(t)]_{2000}^{2007} = \frac{p(2007) - p(2000)}{7}$

Kita perlu menghitung $p(2000)$ dan $p(2007)$ terlebih dahulu:
$p(2000) = -0.004(2000)^3 + 24(2000)^2 - 47.925(2000) + 31.856.000$
$p(2000) = -0.004(8 \times 10^9) + 24(4 \times 10^6) - 95.850.000 + 31.856.000$
$p(2000) = -32.000.000 + 96.000.000 - 95.850.000 + 31.856.000$
$p(2000) = 64.000.000 - 95.850.000 + 31.856.000$
$p(2000) = -31.850.000 + 31.856.000$
$p(2000) = 6.000$ (juta orang)

$p(2007) = -0.004(2007)^3 + 24(2007)^2 - 47.925(2007) + 31.856.000$
$p(2007) \approx -0.004(8.084.577.043) + 24(4.028.049) - 96.205.175 + 31.856.000$
$p(2007) \approx -32.338.308 + 96.673.176 - 96.205.175 + 31.856.000$
$p(2007) \approx 64.334.868 - 96.205.175 + 31.856.000$
$p(2007) \approx -31.870.307 + 31.856.000$
$p(2007) \approx -14.307$ (juta orang)

Ini menunjukkan bahwa modelnya mungkin tidak akurat untuk tahun-tahun tersebut atau ada kesalahan dalam interpretasi soal karena populasi negatif tidak masuk akal.

Namun, jika kita mengikuti cara menghitung rata-rata tingkat perubahan dari turunan:
$\frac{p(2007) - p(2000)}{7} = \frac{-14.307 - 6.000}{7} = \frac{-20.307}{7} \approx -2.901$ (juta orang per tahun)

Perlu diperhatikan bahwa hasil negatif ini tidak intuitif untuk pertumbuhan populasi. Kemungkinan besar ada kesalahan dalam data atau model yang diberikan untuk periode waktu tersebut, atau interpretasi yang diminta untuk 'rata-rata tingkat perubahan' adalah rata-rata dari laju perubahan instan, bukan perubahan total dibagi selang waktu.

Jika pertanyaan c mengacu pada rata-rata nilai dari $p'(t)$ di awal dan akhir periode, maka jawabannya adalah $\approx 24.037.081$ juta orang per tahun. Jika mengacu pada rata-rata laju perubahan yang sebenarnya, maka perlu perhitungan integral.

Diasumsikan yang dimaksud adalah rata-rata laju perubahan instan secara umum:
Jawaban c: Rata-rata tingkat perubahan populasi penduduk di dunia antara tahun 2000 dan 2007 adalah sekitar 24.037.081 juta orang per tahun (dengan asumsi rata-rata nilai $p'(t)$ di awal dan akhir interval). Jika merujuk pada perubahan bersih dibagi waktu, hasilnya negatif yang menunjukkan ketidaksesuaian model.