Dengan induksi buktikanlah bahwa

Terbukti benar dengan induksi matematika melalui basis induksi (n=1) dan langkah induktif.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan tersebut dengan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah:

Langkah 1: Basis Induksi
Kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk nilai n terkecil, yaitu n=1.
Untuk n=1, sisi kiri adalah 2 * 3^(1) = 6.
Sisi kanan adalah 3^(1+1) - 3 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induktif
Kita asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
6 + 18 + 54 + ... + 2 * 3^k = 3^(k+1) - 3

Kemudian, kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita harus menunjukkan bahwa:
6 + 18 + 54 + ... + 2 * 3^k + 2 * 3^(k+1) = 3^((k+1)+1) - 3
6 + 18 + 54 + ... + 2 * 3^k + 2 * 3^(k+1) = 3^(k+2) - 3

Dari asumsi langkah induktif, kita tahu bahwa 6 + 18 + 54 + ... + 2 * 3^k = 3^(k+1) - 3.
Jadi, kita bisa mengganti bagian tersebut pada persamaan di atas:
(3^(k+1) - 3) + 2 * 3^(k+1) = 3^(k+2) - 3

Sekarang, kita sederhanakan sisi kiri:
3^(k+1) + 2 * 3^(k+1) - 3 = 3^(k+2) - 3
3 * 3^(k+1) - 3 = 3^(k+2) - 3
3^(k+1+1) - 3 = 3^(k+2) - 3
3^(k+2) - 3 = 3^(k+2) - 3

Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n=k+1.

Kesimpulan: Dengan induksi matematika, terbukti bahwa 6+18+54+162+...+2.3^n = 3^(n+1)-3 untuk semua bilangan asli n.