Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 1/1(2) + 1/2(3)+

Pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan prinsip induksi matematika dengan basis induksi pada n=1 dan langkah induktif yang menunjukkan kebenaran untuk n=k+1 berdasarkan kebenaran untuk n=k.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan ini dengan induksi matematika, kita akan mengikuti dua langkah utama:

Langkah 1: Basis Induksi
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk kasus pertama, yaitu ketika n=1.
Untuk n=1, sisi kiri adalah 1/(1(1+1)) = 1/(1*2) = 1/2.
Sisi kanan adalah 1/(1+1) = 1/2.
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1/2 = 1/2), pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induktif
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1/1(2) + 1/2(3) + 1/3(4) + ... + 1/k(k+1) = k/(k+1)

Selanjutnya, kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk k+1. Artinya, kita perlu membuktikan:
1/1(2) + 1/2(3) + 1/3(4) + ... + 1/k(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = (k+1)/((k+1)+1) = (k+1)/(k+2)

Mulai dari sisi kiri persamaan untuk k+1:
[1/1(2) + 1/2(3) + 1/3(4) + ... + 1/k(k+1)] + 1/(k+1)(k+2)

Berdasarkan asumsi induksi, kita dapat mengganti bagian dalam kurung siku dengan k/(k+1):
[k/(k+1)] + 1/(k+1)(k+2)

Sekarang, kita samakan penyebutnya untuk menjumlahkan kedua pecahan tersebut:
[k(k+2) / (k+1)(k+2)] + [1 / (k+1)(k+2)]

Jumlahkan pembilangnya:
(k(k+2) + 1) / (k+1)(k+2)

Distribusikan k di pembilang:
(k^2 + 2k + 1) / (k+1)(k+2)

Perhatikan bahwa pembilang adalah bentuk kuadrat sempurna, (k+1)^2:
(k+1)^2 / (k+1)(k+2)

Sederhanakan pecahan dengan membatalkan salah satu faktor (k+1) di pembilang dan penyebut:
(k+1) / (k+2)

Ini adalah sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk k+1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (Langkah 1) dan jika pernyataan tersebut benar untuk k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk k+1 (Langkah 2), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1/1(2) + 1/2(3) + 1/3(4)+....+1/n(n+1)=n/(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif n.