Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 3^(2n)-1 habis

Buktikan benar untuk n=1, lalu asumsikan benar untuk n=k dan buktikan benar untuk n=k+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 3^(2n) - 1 habis dibagi 8 untuk setiap n ∈ Z+ menggunakan induksi matematika, kita akan mengikuti dua langkah utama: basis induksi dan langkah induksi.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1, 3^(2*1) - 1 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8.
Karena 8 habis dibagi 8 (8 / 8 = 1), maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 3^(2k) - 1 habis dibagi 8. Ini berarti kita dapat menulis 3^(2k) - 1 = 8m untuk suatu bilangan bulat m.

Sekarang, kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk k+1. Yaitu, kita perlu membuktikan bahwa 3^(2(k+1)) - 1 habis dibagi 8.

Perhatikan ekspresi untuk n = k+1:
3^(2(k+1)) - 1 = 3^(2k + 2) - 1
= 3^(2k) * 3² - 1
= 3^(2k) * 9 - 1

Kita tahu dari asumsi induksi bahwa 3^(2k) = 8m + 1.
Substitusikan nilai ini ke dalam ekspresi di atas:
= (8m + 1) * 9 - 1
= 72m + 9 - 1
= 72m + 8

Sekarang, kita faktorkan 8 dari ekspresi tersebut:
= 8 * (9m + 1)

Karena (9m + 1) adalah bilangan bulat (karena m adalah bilangan bulat), maka 3^(2(k+1)) - 1 habis dibagi 8.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, karena pernyataan tersebut benar untuk n = 1 (basis induksi) dan jika benar untuk n = k maka juga benar untuk n = k+1 (langkah induksi), maka pernyataan bahwa 3^(2n) - 1 habis dibagi 8 adalah benar untuk setiap bilangan bulat positif n (n ∈ Z+).