Dengan menggunakan induksi matematika, (5^n+2x11^n) dengan

3

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa (5^n + 2 * 11^n) habis dibagi oleh suatu bilangan menggunakan induksi matematika, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Basis Induksi (n=1):**
    Substitusikan n=1 ke dalam ekspresi: 5^1 + 2 * 11^1 = 5 + 2 * 11 = 5 + 22 = 27.
    Karena 27 habis dibagi 3, basis induksi terpenuhi.

2.  **Asumsi Induksi (n=k):**
    Asumsikan bahwa (5^k + 2 * 11^k) habis dibagi oleh 3 untuk suatu bilangan asli k. Ini berarti 5^k + 2 * 11^k = 3m, di mana m adalah bilangan bulat.

3.  **Langkah Induksi (n=k+1):**
    Kita perlu membuktikan bahwa (5^(k+1) + 2 * 11^(k+1)) juga habis dibagi oleh 3.
    5^(k+1) + 2 * 11^(k+1) = 5 * 5^k + 2 * 11 * 11^k
    Kita bisa memanipulasi ekspresi ini agar memunculkan bentuk (5^k + 2 * 11^k):
    = 5 * 5^k + 110 * 11^k
    = 5 * 5^k + 2 * 11 * 11^k
    Kita bisa menulis ulang 110 * 11^k sebagai 5 * 11^k + 105 * 11^k:
    = 5 * 5^k + 5 * 11^k + 105 * 11^k
    = 5 * (5^k + 11^k) + 105 * 11^k
    Ini belum membantu secara langsung. Mari kita coba cara lain:

    Kita tahu dari asumsi bahwa 5^k = 3m - 2 * 11^k.
    Substitusikan ini ke dalam ekspresi untuk n=k+1:
    5^(k+1) + 2 * 11^(k+1) = 5 * 5^k + 2 * 11 * 11^k
    = 5 * (3m - 2 * 11^k) + 22 * 11^k
    = 15m - 10 * 11^k + 22 * 11^k
    = 15m + 12 * 11^k
    = 3 * (5m + 4 * 11^k)

    Karena (5m + 4 * 11^k) adalah bilangan bulat, maka (5^(k+1) + 2 * 11^(k+1)) habis dibagi oleh 3.

    Jadi, dengan induksi matematika, (5^n + 2 * 11^n) untuk n bilangan asli habis dibagi 3.