Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa

Pernyataan terbukti benar karena salah satu dari n atau (n+1) pasti genap, sehingga kuadratnya pasti habis dibagi 4.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa n^2(n+1)^2 habis dibagi 4 dengan induksi matematika, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Basis Induksi:** Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk nilai n terkecil, biasanya n=1.
    Untuk n=1: 1^2(1+1)^2 = 1^2(2)^2 = 1 * 4 = 4. Karena 4 habis dibagi 4, maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

2.  **Hipotesis Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu k^2(k+1)^2 habis dibagi 4. Ini berarti k^2(k+1)^2 = 4m untuk suatu bilangan bulat m.

3.  **Langkah Induksi:** Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga berlaku untuk n = k+1. Yaitu, (k+1)^2((k+1)+1)^2 habis dibagi 4.
    Kita perlu membuktikan bahwa (k+1)^2(k+2)^2 habis dibagi 4.
    Perhatikan bahwa (k+1)^2(k+2)^2 = (k+1)^2[(k+1)+1]^2. Ini belum membantu banyak.
    Mari kita lihat ekspresi k^2(k+1)^2. Kita tahu bahwa salah satu dari n atau n+1 pasti genap. Jika n genap, n=2p, maka n^2 = (2p)^2 = 4p^2, sehingga n^2 habis dibagi 4.
    Jika n ganjil, maka n+1 genap. Misalkan n+1=2q, maka (n+1)^2 = (2q)^2 = 4q^2, sehingga (n+1)^2 habis dibagi 4.
    Karena n^2(n+1)^2 adalah hasil perkalian dua kuadrat, dan salah satu dari n atau n+1 pasti genap, maka salah satu dari n^2 atau (n+1)^2 pasti habis dibagi 4. Akibatnya, hasil perkalian n^2(n+1)^2 pasti habis dibagi 4.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa n^2(n+1)^2 habis dibagi 4 adalah benar untuk semua bilangan asli n.