Dengan menggunakan metode substitusi, tentukan hasil

(1/3)(x^2+1)^(3/2) + C

Pembahasan

Untuk menentukan hasil integral dari ∫ x√(x^2+1) dx menggunakan metode substitusi, kita perlu memilih bagian dari ekspresi yang akan disubstitusikan.

Misalkan u = x^2 + 1.
Langkah selanjutnya adalah mencari turunan dari u terhadap x (du/dx):
du/dx = 2x
Dari sini, kita dapatkan dx = du / (2x).

Sekarang, substitusikan u dan dx ke dalam integral:
∫ x√u * (du / (2x))

Perhatikan bahwa 'x' bisa dicoret:
∫ √u * (du / 2)

Ini dapat ditulis ulang sebagai:
(1/2) ∫ u^(1/2) du

Sekarang, kita integralkan terhadap u menggunakan aturan pangkat ∫ u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C:
(1/2) * [u^((1/2)+1) / ((1/2)+1)] + C
(1/2) * [u^(3/2) / (3/2)] + C
(1/2) * (2/3) * u^(3/2) + C
(1/3) * u^(3/2) + C

Terakhir, substitusikan kembali u = x^2 + 1 ke dalam hasil:
(1/3) * (x^2 + 1)^(3/2) + C

Jadi, hasil dari integral x√(x^2+1) dx menggunakan metode substitusi adalah (1/3)(x^2+1)^(3/2) + C.