Tentukan nilai limit fungsi berikut. limit x->0 (tan x-sin

Nilai limitnya adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi lim (x→0) (tan x - sin x) / (x² sin x), kita dapat menggunakan ekspansi deret Taylor atau aturan L'Hôpital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Metode Aturan L'Hôpital:
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika lim (x→c) f(x)/g(x) menghasilkan bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan lim (x→c) f'(x)/g'(x), asalkan limit turunan ada.

Turunan dari pembilang (tan x - sin x) adalah sec²x - cos x.
Turunan dari penyebut (x² sin x) adalah 2x sin x + x² cos x (menggunakan aturan perkalian).

Jadi, limitnya menjadi: lim (x→0) (sec²x - cos x) / (2x sin x + x² cos x).
Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0 (karena sec²0 = 1, cos 0 = 1, sin 0 = 0).

Mari kita terapkan aturan L'Hôpital sekali lagi:
Turunan dari pembilang (sec²x - cos x) adalah 2 sec x (sec x tan x) - (-sin x) = 2 sec²x tan x + sin x.
Turunan dari penyebut (2x sin x + x² cos x) adalah (2 sin x + 2x cos x) + (2x cos x - x² sin x) = 2 sin x + 4x cos x - x² sin x.

Jadi, limitnya menjadi: lim (x→0) (2 sec²x tan x + sin x) / (2 sin x + 4x cos x - x² sin x).
Substitusikan x=0:
Pembilang: 2(1)²(0) + 0 = 0.
Penyebut: 2(0) + 4(0)(1) - (0)²(0) = 0.
Kita masih mendapatkan 0/0. Ini menunjukkan bahwa mungkin ada cara yang lebih efisien atau kesalahan dalam perhitungan turunan.

Mari kita coba pendekatan lain menggunakan identitas trigonometri dan limit dasar.
Kita tahu bahwa lim (x→0) tan x / x = 1, lim (x→0) sin x / x = 1, dan lim (x→0) (1 - cos x) / x² = 1/2.

Kita bisa menulis ulang fungsi tersebut:
(tan x - sin x) / (x² sin x) = (sin x / cos x - sin x) / (x² sin x)
= (sin x (1/cos x - 1)) / (x² sin x)
= (sin x (1 - cos x) / cos x) / (x² sin x)
= (sin x (1 - cos x)) / (x² sin x cos x)

Sekarang kita bisa memisahkan limitnya:
lim (x→0) [ (1 - cos x) / x² ] × [ sin x / (sin x cos x) ]

Perhatikan bagian kedua: sin x / (sin x cos x) = 1 / cos x (dengan asumsi sin x ≠ 0).

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x→0) [ (1 - cos x) / x² ] × [ 1 / cos x ]

Kita tahu:
lim (x→0) (1 - cos x) / x² = 1/2
lim (x→0) 1 / cos x = 1 / cos 0 = 1 / 1 = 1

Maka, limit keseluruhannya adalah:
(1/2) × 1 = 1/2.

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 1/2.