Dengan metode substitusi, hitunglah: integral (3 e^x)/(3+2

Hasil integralnya adalah \(\frac{3}{2} \ln|3 + 2e^x| + C\).

Pembahasan

Untuk menghitung integral \(\int \frac{3e^x}{3+2e^x} dx\) dengan metode substitusi, kita dapat memilih:

Misalkan \(u = 3 + 2e^x\)

Maka, turunannya terhadap x adalah:
\(\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3 + 2e^x)\)
\(\frac{du}{dx} = 0 + 2e^x\)
\(\frac{du}{dx} = 2e^x\)

Dari sini, kita dapatkan \(dx = \frac{du}{2e^x}\).

Sekarang, substitusikan u dan dx ke dalam integral:
\(\int \frac{3e^x}{u} \cdot \frac{du}{2e^x}\)

Kita bisa membatalkan \(e^x\) dari pembilang dan penyebut:
\(\int \frac{3}{u} \cdot \frac{du}{2}\)

Keluarkan konstanta dari integral:
\(\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} du\)

Integral dari \(\frac{1}{u}\) terhadap u adalah \(\ln|u|\):
\(\frac{3}{2} \ln|u| + C\)

Terakhir, substitusikan kembali \(u = 3 + 2e^x\) ke dalam hasil:
\(\frac{3}{2} \ln|3 + 2e^x| + C\)

Jadi, hasil integralnya adalah \(\frac{3}{2} \ln|3 + 2e^x| + C\).