Diketahui sin theta+cos theta=1/2 hasil dari sin^3

Hasil dari \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\) adalah \(\frac{11}{16}\).

Pembahasan

Diketahui \(\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}\).
Kita ingin mencari nilai dari \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\).

Kita tahu identitas aljabar: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\).
Terapkan pada \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\):
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)\)

Kita tahu bahwa \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Jadi, persamaan menjadi:
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)\)

Sekarang, kita perlu mencari nilai dari \(\sin \theta \cos \theta\).
Kuadratkan kedua sisi dari persamaan yang diketahui \(\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}\):
\((\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2\)
\(\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}\)

Karena \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\):
\(1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}\)
\(2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1\)
\(2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - \frac{4}{4}\)
\(2 \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{4}\)
\(\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}\)

Sekarang substitusikan nilai \(\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}\) dan \(\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}\) ke dalam persamaan \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)\):
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{2})(1 - (-\frac{3}{8}))\)
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{2})(1 + \frac{3}{8})\)
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{2})(\frac{8}{8} + \frac{3}{8})\)
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{2})(\frac{11}{8})\)
\(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{11}{16}\)

Jadi, hasil dari \(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta\) adalah \(\frac{11}{16}\).