Dengan teorema L'Hopital hitunglah limit-limit fungsi

4

Pembahasan

Kita diminta untuk menghitung limit fungsi lim x -> 0 (2 - 2 cos 2x) / x^2 menggunakan Teorema L'Hopital. Teorema L'Hopital digunakan untuk menyelesaikan limit yang menghasilkan bentuk tak tentu, seperti 0/0 atau ∞/∞.

Pertama, kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
Pembilang: 2 - 2 cos(2*0) = 2 - 2 cos(0) = 2 - 2 * 1 = 0.
Penyebut: 0^2 = 0.
Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menerapkan Teorema L'Hopital.

Teorema L'Hopital menyatakan bahwa jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu, maka limit tersebut sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x), di mana f'(x) dan g'(x) adalah turunan dari f(x) dan g(x) secara berturut-turut.

Mari kita cari turunan dari pembilang dan penyebut:
Misalkan f(x) = 2 - 2 cos 2x. Turunan f'(x) adalah turunan dari 2 (yaitu 0) dikurangi turunan dari 2 cos 2x.
Turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'. Jadi, turunan dari cos(2x) adalah -sin(2x) * 2 = -2 sin 2x.
Sehingga, f'(x) = 0 - 2 * (-2 sin 2x) = 4 sin 2x.

Misalkan g(x) = x^2. Turunan g'(x) adalah 2x.

Sekarang kita hitung limit dari f'(x)/g'(x):
lim x -> 0 (4 sin 2x) / (2x).

Substitusikan x = 0 lagi:
Pembilang: 4 sin(2*0) = 4 sin(0) = 4 * 0 = 0.
Penyebut: 2 * 0 = 0.
Karena masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menerapkan Teorema L'Hopital sekali lagi.

Cari turunan kedua dari pembilang dan penyebut:
Turunan dari f'(x) = 4 sin 2x adalah f''(x).
Turunan dari sin(u) adalah cos(u) * u'. Jadi, turunan dari sin(2x) adalah cos(2x) * 2 = 2 cos 2x.
Sehingga, f''(x) = 4 * (2 cos 2x) = 8 cos 2x.

Turunan dari g'(x) = 2x adalah g''(x) = 2.

Sekarang hitung limit dari f''(x)/g''(x):
lim x -> 0 (8 cos 2x) / 2.

Substitusikan x = 0:
Pembilang: 8 cos(2*0) = 8 cos(0) = 8 * 1 = 8.
Penyebut: 2.

Maka, limitnya adalah 8 / 2 = 4.

Jadi, nilai limit lim x -> 0 (2 - 2 cos 2x) / x^2 adalah 4.