Deret: sigma i=1 n i(i+1)(i+2) merupakan deret

Deret pangkat tiga

Pembahasan

Deret \sum_{i=1}^{n} i(i+1)(i+2) merupakan deret pangkat tiga.

Penjelasan:
Untuk mengetahui jenis deretnya, kita perlu menjabarkan beberapa suku pertama dari deret tersebut:

Ketika i = 1: 1(1+1)(1+2) = 1 * 2 * 3 = 6
Ketika i = 2: 2(2+1)(2+2) = 2 * 3 * 4 = 24
Ketika i = 3: 3(3+1)(3+2) = 3 * 4 * 5 = 60

Jadi, deretnya adalah 6, 24, 60, ...

Mari kita lihat selisih antar suku:
Selisih suku ke-2 dan ke-1: 24 - 6 = 18
Selisih suku ke-3 dan ke-2: 60 - 24 = 36

Selisih tingkat kedua:
36 - 18 = 18

Karena selisih tingkat kedua konstan, ini menunjukkan bahwa deret tersebut adalah deret polinomial berderajat 3 (kubik).

Lebih spesifik lagi, jika kita mengembangkan suku umum i(i+1)(i+2):
i(i+1)(i+2) = i(i^2 + 3i + 2) = i^3 + 3i^2 + 2i

Ketika kita menjumlahkan suku-suku ini dari i=1 sampai n, kita akan mendapatkan:
\sum_{i=1}^{n} (i^3 + 3i^2 + 2i) = \sum_{i=1}^{n} i^3 + 3\sum_{i=1}^{n} i^2 + 2\sum_{i=1}^{n} i

Rumus untuk jumlah deret pangkat:
\sum_{i=1}^{n} i = n(n+1)/2
\sum_{i=1}^{n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
\sum_{i=1}^{n} i^3 = [n(n+1)/2]^2

Karena suku umum mengandung i^3, maka hasil penjumlahannya akan menjadi polinomial berderajat 4. Namun, pertanyaan menanyakan jenis deret dari suku UN. Suku UN adalah i(i+1)(i+2) yang merupakan hasil perkalian tiga suku berurutan, yang jika dijabarkan menjadi polinomial derajat 3.