Jika ({ )^(2) log a b)/({ )^(2) log a)=3 dan { )^(bc) log

$\frac{6}{7}$

Pembahasan

Diketahui:
1) $(\frac{^2\log a}{^2\log b}) = 3 \implies ^b\log a = 3$
2) $(\frac{^2\log a}{^2\log c}) = 3 \implies ^c\log a = 3$
3) $^bc\log a = \frac{2}{3}$

Dari persamaan pertama, kita punya $a = b^3$.
Dari persamaan kedua, kita punya $a = c^3$.
Dari persamaan ketiga, kita punya $a = (bc)^{\frac{2}{3}}$.

Mengganti $a$ dari persamaan pertama ke persamaan ketiga:
$b^3 = (bc)^{\frac{2}{3}}$
$b^3 = b^{\frac{2}{3}} c^{\frac{2}{3}}$
$b^{3 - \frac{2}{3}} = c^{\frac{2}{3}}$
$b^{\frac{7}{3}} = c^{\frac{2}{3}}$

Mengganti $a$ dari persamaan kedua ke persamaan ketiga:
$c^3 = (bc)^{\frac{2}{3}}$
$c^3 = b^{\frac{2}{3}} c^{\frac{2}{3}}$
$c^{3 - \frac{2}{3}} = b^{\frac{2}{3}}$
$c^{\frac{7}{3}} = b^{\frac{2}{3}}$

Kita ingin mencari nilai $^c\log a$.
Dari persamaan $a = c^3$, maka $^c\log a = 3$. 

Mari kita cek konsistensi.
Jika $a = b^3$ dan $a = c^3$, maka $b^3 = c^3$, yang berarti $b=c$ (dengan asumsi basis logaritma positif dan tidak sama dengan 1).
Jika $b=c$, maka $bc = b^2$ atau $c^2$.
Persamaan ketiga menjadi $^b\log a = \frac{2}{3}$ atau $^c\log a = \frac{2}{3}$.
Namun, dari persamaan kedua diketahui $^c\log a = 3$. Ini menunjukkan ada ketidaksesuaian dalam soal atau pemahaman awal.

Mari kita gunakan sifat logaritma:
$^b\log a = 3 
^c\log a = 3
^{bc}\log a = \frac{2}{3}$

Kita tahu bahwa $^x\log y = \frac{1}{^y\log x}$.
Maka:
$rac{1}{^a\log b} = 3 
rac{1}{^a\log c} = 3 
rac{1}{^a\log (bc)} = rac{2}{3}$

Dari sini:
$^a\log b = rac{1}{3}$
$^a\log c = rac{1}{3}$
$^a\log (bc) = rac{3}{2}$

Kita tahu bahwa $^a\log (bc) = ^a\log b + ^a\log c$.
$rac{3}{2} = rac{1}{3} + rac{1}{3}$
$rac{3}{2} = rac{2}{3}$
Ini adalah kontradiksi. Terdapat kesalahan dalam soal.

Asumsikan soalnya adalah:
Jika $^2\log a / ^2\log b = 3$ dan $^c\log a = 2/3$, maka nilai dari $^bc\log a$ adalah...

Dari $^2\log a / ^2\log b = 3 

^b\log a = 3 

a = b^3$

Dari $^c\log a = 2/3 

a = c^{2/3}$

Maka $b^3 = c^{2/3}$
$b = c^{2/9}$

Kita ingin mencari $^bc\log a$.
$^bc\log a = \frac{^2\log a}{^2\log (bc)} = \frac{^2\log a}{^2\log b + ^2\log c}$

Kita tahu $^b\log a = 3 

$\frac{^2\log a}{^2\log b} = 3 

$^c\log a = 2/3 

$\frac{^2\log a}{^2\log c} = \frac{2}{3}$

Misalkan $^2\log a = x$.
Maka $^2\log b = x/3$
$^2\log c = 3x/2$

$^bc\log a = \frac{x}{(x/3) + (3x/2)}$
$= \frac{x}{(2x + 9x)/6}$
$= \frac{x}{11x/6}$
$= \frac{6}{11}$

Jika soalnya adalah seperti yang tertulis: $(\frac{^2\log a}{^2\log b})=3$ dan $^bc\log a = \frac{2}{3}$, maka nilai dari $^c\log a$ adalah....
Dari $^b\log a = 3 

$^c\log a = ?$
$^bc\log a = \frac{2}{3}$

Kita tahu $^bc\log a = \frac{1}{^{1/bc}\log a}$
Dan $^bc\log a = \frac{^x\log a}{^x\log (bc)} = \frac{^x\log a}{^x\log b + ^x\log c}$

Misalkan $^2\log a = A$, $^2\log b = B$, $^2\log c = C$.
Maka $A/B = 3 

$\frac{A}{B+C} = \frac{2}{3}$

Kita ingin mencari $^c\log a = A/C$.

Dari $A/B = 3 

A = 3B$

Substitusikan ke persamaan kedua:
$\frac{3B}{B+C} = \frac{2}{3}$
$9B = 2(B+C)$
$9B = 2B + 2C$
$7B = 2C$
$B = \frac{2}{7}C$

Sekarang kita cari $A/C$: 
$A/C = (3B)/C$
$A/C = 3(\frac{2}{7}C)/C$
$A/C = \frac{6}{7}$

Maka, $^c\log a = \frac{6}{7}$.