Diberikan a, b in(0, (pi)/(4)), 3 sin b= sin (2 a+b), 4 tan

Nilai dari $a+b$ adalah $\frac{\pi}{4}$.

Pembahasan

Dari persamaan $4 \tan (\frac{a}{2}) = 1 - \tan^2 (\frac{a}{2})$, kita dapat mengatur ulang menjadi $\tan^2 (\frac{a}{2}) + 4 \tan (\frac{a}{2}) - 1 = 0$.
Misalkan $x = \tan (\frac{a}{2})$, maka $x^2 + 4x - 1 = 0$. Menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, kita dapatkan $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = rac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$.
Karena $a \in (0, \frac{\pi}{4})$, maka $\frac{a}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$. Dalam rentang ini, $\tan (\frac{a}{2})$ positif. Jadi, $\tan (\frac{a}{2}) = -2 + \sqrt{5}$.

Dari persamaan $3 \sin b = \sin(2a + b)$, kita gunakan identitas $\sin(2a+b) = \sin 2a \cos b + \cos 2a \sin b$.
Maka, $3 \sin b = \sin 2a \cos b + \cos 2a \sin b$.
$3 \sin b - \cos 2a \sin b = \sin 2a \cos b$
$(3 - \cos 2a) \sin b = \sin 2a \cos b$
$rac{\sin b}{\cos b} = \frac{\sin 2a}{3 - \cos 2a}$
$	an b = \frac{2 \sin a \cos a}{3 - (1 - 2 \sin^2 a)} = \frac{2 \sin a \cos a}{2 + 2 \sin^2 a} = \frac{\sin a \cos a}{1 + \sin^2 a}$.

Kita tahu $\tan (\frac{a}{2}) = rac{\sin a}{1 + \cos a}$. Dari $\tan (\frac{a}{2}) = -2 + \sqrt{5}$, kita dapat mencari nilai $\sin a$ dan $\cos a$ menggunakan identitas $\tan^2 (x) = rac{1 - 	extrm{cos}(2x)}{1 + 	extrm{cos}(2x)}$ dan $\tan (x) = rac{	extrm{sin}(2x)}{1 + 	extrm{cos}(2x)}$. Namun, ini akan sangat rumit.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Jika $\tan (\frac{a}{2}) = -2 + \sqrt{5}$, maka $\tan a = \frac{2 \tan (\frac{a}{2})}{1 - \tan^2 (\frac{a}{2})} = rac{2(-2 + \sqrt{5})}{1 - (-2 + \sqrt{5})^2} = rac{-4 + 2\sqrt{5}}{1 - (4 - 4\sqrt{5} + 5)} = rac{-4 + 2\sqrt{5}}{1 - 9 + 4\sqrt{5}} = rac{-4 + 2\sqrt{5}}{-8 + 4\sqrt{5}} = rac{-2 + \sqrt{5}}{-4 + 2\sqrt{5}} = rac{(-2 + \sqrt{5})(-4 - 2\sqrt{5})}{(-4 + 2\sqrt{5})(-4 - 2\sqrt{5})} = rac{8 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 10}{16 - 20} = rac{-2}{-4} = rac{1}{2}$.

Sekarang kita punya $\tan a = rac{1}{2}$. Kita bisa mencari $\sin a$ dan $\cos a$. Jika $\tan a = rac{1}{2}$, kita bisa membuat segitiga siku-siku dengan sisi depan 1, sisi samping 2, dan sisi miring $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. Jadi, $\sin a = rac{1}{\sqrt{5}}$ dan $\cos a = rac{2}{\sqrt{5}}$.

Substitusikan $\sin a$ dan $\cos a$ ke dalam persamaan $\tan b = rac{\sin a \cos a}{1 + \sin^2 a}$:
$\tan b = rac{(\frac{1}{\sqrt{5}})(\frac{2}{\sqrt{5}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{5}})^2} = rac{\frac{2}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = rac{\frac{2}{5}}{\frac{6}{5}} = rac{2}{6} = rac{1}{3}$.

Kita memiliki $\tan a = rac{1}{2}$ dan $\tan b = rac{1}{3}$.
Maka, $\tan(a+b) = rac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = rac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{2})(\frac{1}{3})} = rac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = rac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$.
Karena $\tan(a+b) = 1$, dan diketahui $a, b \in (0, \frac{\pi}{4})$, maka $a+b = \frac{\pi}{4}$.