Nilai dari limit x->0 (3x tan 2x)/(1-cos 4x) =

Nilai limitnya adalah 3/4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 jika kita substitusikan x=0 langsung.

Limit: lim (x->0) (3x tan 2x) / (1 - cos 4x)

Turunan dari pembilang (3x tan 2x):
Menggunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv'
d/dx (3x tan 2x) = (3)(tan 2x) + (3x)(sec² 2x * 2)
= 3 tan 2x + 6x sec² 2x

Turunan dari penyebut (1 - cos 4x):
d/dx (1 - cos 4x) = 0 - (-sin 4x * 4)
= 4 sin 4x

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x->0) (3 tan 2x + 6x sec² 2x) / (4 sin 4x)

Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0. Jadi, kita gunakan aturan L'Hopital sekali lagi.

Turunan dari pembilang (3 tan 2x + 6x sec² 2x):
d/dx (3 tan 2x) = 3 sec² 2x * 2 = 6 sec² 2x
Untuk 6x sec² 2x, gunakan aturan perkalian:
d/dx (6x sec² 2x) = (6)(sec² 2x) + (6x)(2 sec 2x * (-sec 2x tan 2x) * 2)
= 6 sec² 2x + 6x (-4 sec² 2x tan 2x)
= 6 sec² 2x - 24x sec² 2x tan 2x

Jadi, turunan pembilang totalnya adalah: 6 sec² 2x + 6 sec² 2x - 24x sec² 2x tan 2x = 12 sec² 2x - 24x sec² 2x tan 2x

Turunan dari penyebut (4 sin 4x):
d/dx (4 sin 4x) = 4 cos 4x * 4 = 16 cos 4x

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim (x->0) (12 sec² 2x - 24x sec² 2x tan 2x) / (16 cos 4x)

Sekarang substitusikan x=0:
 Pembilang: 12 sec²(0) - 24(0) sec²(0) tan(0) = 12 (1)² - 0 = 12
 Penyebut: 16 cos(0) = 16 (1) = 16

Jadi, hasil limitnya adalah 12/16 = 3/4.

Cara lain menggunakan identitas trigonometri:
Ingat bahwa tan(u) ≈ u dan (1 - cos(v)) ≈ v²/2 untuk u, v mendekati 0.
Limit: lim (x->0) (3x * 2x) / ((4x)² / 2)
= lim (x->0) (6x²) / (16x²/2)
= lim (x->0) (6x²) / (8x²)
= 6/8 = 3/4