Diberikan f(9)=9 dan f'(9)=4. Hitunglah: lim x->9

4

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{\sqrt{x}-3}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusi langsung $x=9$, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{\sqrt{f(9)}-3}{\sqrt{9}-3} = \frac{\sqrt{9}-3}{3-3} = \frac{3-3}{0} = \frac{0}{0}$.

Menggunakan aturan L'Hopital, kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap $x$:
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)}-3) = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}-3) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Maka, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 9} \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \cdot 2\sqrt{x} = \lim_{x \to 9} \frac{f'(x)\sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$

Sekarang kita substitusi nilai $f(9)=9$ dan $f'(9)=4$:
$\frac{f'(9)\sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4\sqrt{9}}{\sqrt{9}} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$

Jadi, hasil limitnya adalah 4.