Suatu partikel bergerak lurus sehingga jarak terhadap titik

a. 16 m, b. 5 m, c. 5 m/s, d. 9 m/s, e. 12 m/s (pada t=2 s)

Pembahasan

Untuk menganalisis pergerakan partikel, kita perlu menggunakan konsep turunan dari fungsi jarak terhadap waktu untuk mendapatkan kecepatan dan percepatan.
Fungsi jarak: \(s(t) = (1 + 6t^2 - t^3)\) meter.

a. Jarak yang ditempuh selama dua sekon pertama:
Ini berarti kita perlu mencari \(s(2)\) dan \(s(0)\) lalu menghitung perbedaannya. Namun, 'jarak yang ditempuh' biasanya merujuk pada perubahan posisi, yaitu \(s(t_akhir) - s(t_awal)\).
\(s(0) = 1 + 6(0)^2 - (0)^3 = 1\) meter.
\(s(2) = 1 + 6(2)^2 - (2)^3 = 1 + 6(4) - 8 = 1 + 24 - 8 = 17\) meter.
Jarak yang ditempuh selama dua sekon pertama = \(s(2) - s(0) = 17 - 1 = 16\) meter.

b. Jarak yang ditempuh pada \(t=3\) s sampai dengan \(t=4\) s:
\(s(3) = 1 + 6(3)^2 - (3)^3 = 1 + 6(9) - 27 = 1 + 54 - 27 = 28\) meter.
\(s(4) = 1 + 6(4)^2 - (4)^3 = 1 + 6(16) - 64 = 1 + 96 - 64 = 33\) meter.
Jarak yang ditempuh = \(s(4) - s(3) = 33 - 28 = 5\) meter.

c. Kecepatan rata-rata pada \(t=3\) s sampai dengan \(t=4\) s:
Kecepatan rata-rata = \(\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(4) - s(3)}{4 - 3} = \frac{33 - 28}{1} = 5\) m/s.

d. Kecepatan pada saat \(t=3\) s:
Kecepatan adalah turunan pertama dari jarak terhadap waktu, \(v(t) = s'(t)\).
\(v(t) = \frac{d}{dt}(1 + 6t^2 - t^3) = 0 + 12t - 3t^2\).
Untuk \(t=3\) s:
\(v(3) = 12(3) - 3(3)^2 = 36 - 3(9) = 36 - 27 = 9\) m/s.

e. Kecepatan yang terbesar yang dicapai partikel tersebut:
Untuk mencari kecepatan terbesar, kita perlu mencari nilai maksimum dari fungsi kecepatan \(v(t) = 12t - 3t^2\). Kita cari turunan kedua dari jarak (atau turunan pertama dari kecepatan) dan setel sama dengan nol untuk mencari titik kritis.
Percepatan \(a(t) = v'(t) = s''(t)\).
\(a(t) = \frac{d}{dt}(12t - 3t^2) = 12 - 6t\).
Setel \(a(t) = 0\) untuk mencari nilai t saat kecepatan maksimum:
\(12 - 6t = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2\) detik.
Sekarang kita substitusikan \(t=2\) ke dalam fungsi kecepatan:
\(v(2) = 12(2) - 3(2)^2 = 24 - 3(4) = 24 - 12 = 12\) m/s.
Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa cek turunan keduanya (dari kecepatan), yaitu \(v''(t) = -6\), yang negatif, menandakan titik maksimum. Perlu diperhatikan domain waktu yang relevan. Jika tidak ada batasan, kecepatan maksimum terjadi pada t=2 detik.